LIVRE TROISIÈME

afin que le point D puisse être considéré comme le pied de la verticale abaissée du lieu de l’observation sur le plan ABC; et pour lors, avec deux des distances horizontales AD, BD, CD déterminées par le calcul, on fixera la projection de ce lieu ; c’est ce que l’on va voir.

Nommons j3,y les réductions à l’horizon des angles observés ADC, ADB. Soient en outre DA = D , DB = D', DC = D", angles ABD = x , ACD = adoptons, pour le triangle ABC, la notation de l’art. 4/, et enfin faisons abstraction de la courbure de la Terre.

Cela posé , dans le quadrilatère ABDC , supposé plan , les quatre angles vaudront ensemble deux angles droits , et les triangles ADC , ADB donneront respectivement

„ b siny j-j c sin-r

sin (J ’ sin 7 ’

d’où

b sin 7 sim? , \

c sinp sin^’ ' ’

et par suite

c sin (3

sin.z -(- sinjr b sin7 -t- c sin (3 ^ bien tan& (x JO ^ s^n 7

sim: — sinj b sin7 — c sin p 1 tang ± (x — y) * s*nP

Or, si l’on fait

c sin S

tansz =

l’expression précédente deviendra

tang H*+r) = ■+.güiis= ,ang U + '-!)■ tang 4- (x — y) i — tangz ° \ 2 /

tang 4- (æ— y) iet si , pour abréger, l’on pose

fange? = — gT.^ + jl = cot fs-H— ^ tang S. tang (z-h'A V *'

on aura

étant connu , il s’ensuit que

(f changerait de signe si sa tangente était négative.

Quant aux valeurs de D, D', D", il est évident qu’elles seront données par les équations

P b sinj C sin.r

sinp sin7 7

jy c sin {x H- y) a sin (y — C)

sin7 ~ ~sin(p-+-7) »

y-y/ b sin (y 4- p) « sin(:r — B)

sinP sin((3 -f- 7) '

Cette solution, que l’on doit à Delambre, n’exige la construction d’aucune figure ; elle nous paraît la plus simple et la plus commode de toutes celles que l’on pourrait donner du même problème. Cependant si l’on voulait une formule qui donnât immédiatement l’une des inconnues, x par exemple, on trouverait sans peine, en faisant j=p—x dans la relation (m), et développant,

cot æ = cot p ( — -f P A.

1 \ O sin y cos p J 7

ou taisant en outre tangy = on aurait

cot x = cot p

sin (y

COS y COS ÿ ** 7

expression dans laquelle /> = 4” — A — |3 — y, et cos = i/î.

Quoiqu i soit aisé de se rendre compte des changements que I formules cv-dessus éprouvent suivant la position du point D à l’éga <iu tnangle ABC, nous ferons les remarques suivantes : ,» si le point était dans 1 inteneur du triangle BCD, on aurait