LIVRE TROISIÈME

moyen, procéder, comme à l’art. !5f>, pour déterminer le côté AM et le segment CM, c’est-à-dire que l’on aura ces deux proportions :

sin (200g — A — C -+- f e) sin (C — j e) : : AC : AM , sin (200e — A — C -f s) ! sin (A — -je) ‘ ! AC ; CM.

Si l’on traite de la même manière le triangle ABM dans lequel les angles sphériques A, B seront connus, on obtiendra le segment BM , et, en l’ajoutant à CM, la somme devra être égale à BC déterminé directement.

Il est évident que le second côté MM' de la méridienne se déterminera par un procédé tout pareil, puisque dans le triangle BMM' on connaîtra le côté BM et les deux angles adjacents B, M ; mais la résolution du triangle ABM' donnerait immédiatement AM'. Pour abréger ainsi le calcul de la méridienne, il faut faire un choix de triangles bien conditionnés (art. 100).

Quant à la partie M'M" qui se trouve extérieure à la chaîne des triangles , on pourra l’obtenir ainsi qu’il suit : on prolongera CD jusques en N, afin de former le triangle MCN dans lequel le côté CM et les angles C, M seront connus, et l’on déterminera, comme cidessus, les côtés MN, CN et l’angle sphérique N. Ainsi, dans le quadrilatère sphérique NDFM", l’on connaîtra les trois angles, DNM supplément à deux droits de CNM, NDF supplément à deux droits de CDF, et DFM" supplément à quatre droits de DFE -J- EFG -+- GFH : on pourra donc résoudre le triangle DNF, c’est-à-dire déterminer, parla méthode exposée à l’art. 155, les angles sphériques DNF,DFN et le côté NF, diagonale du quadrilatère proposé. Il résultera de cette détermination, que dans le triangle N FM" l’on connaîtra le côté NF et les deux angles adjacents, savoir l’angle FNM"=200g— CNM— CNF, et l’angle NFM" = DFM" — DFN ; ainsi l’on pourra calculer les côtés NM" et FM", passer de là à la détermination de M" M" à 1 aide du triangle M"HM,V qui offrira pour données le côté M H = FH — FM et les angles sphériques adjacents M", M,VHM"; enfin, atteindre 1 extrémité MVI de la méridienne.

S’il arrivait, cependant, comme dans la partie sud de la méridienne de France, limitée à l’île de Formentera (PI. V), que le réseau de

triangles qui en mesure l’étendue s’éloignât beaucoup trop de cette ligne pour que l’on pût opérer facilement de cette manière, on choisirait le méridien qui traverse la plus grande partie de ce réseau , et l’on supposerait alors que l’arc rectifié de cette ligne auxiliaire est égal à celui de la ligne méridienne principale qui serait comprise entre les memes parallèles. On verra au chapitre xvi un exemple numérique pour ce cas particulier.

160. Une ligne tracée ainsi qu’il vient d’ètre dit , ou déduite de mesures trigonométriques, par le moyen que l’on vient d’indiquer, se nomme ligne géodésiquc : elle a la propriété d etre la plus courte que l’on puisse mener entre ses deux extrémités sur la surface de la Terre, et elle y mesure par conséquent la distance itinéraire des lieux; c’est ce que l’on démontrera plus bas. A la rigueur, cette courbe diffère un peu du méridien terrestre, et c’est un fait dont il est facile de se rendre raison ; car pour que la ligne que déterminent les opérations géodésiques coïncidât avec le méridien terrestre , il faudrait que les verticales des points A, M, M', M" fussent parallèles au plan du méridien céleste, c’est-à-dire à celui qui passe par la verticale du point A et par l’axe du monde; circonstance qui n’a pas lieu lorsque la Terre n est pas un solide de révolution. Cependant, dans l’état actuel des choses, la différence entre les deux courbes dont il s’agit est si petite, qu’il est inutile d’y avoir égard.

161. Maintenant, si l’on imagine un cercle perpendiculaire au méridien céleste , et passant par la verticale du lieu de l’observateur il représentera le premier vertical de ce lieu. L’ensemble de tous ’les points de la surface de la Terre qui auront leur zénith à la circonférence de ce cercle, formera la perpendiculaire à la méridienne, que l’on tracera absolument comme il est indiqué ci-dessus.

Sur la sphère, les perpendiculaires à la méridienne sont des grands cercles qui se coupent tous à l’équateur en deux points diamétralement opposés; mais sur l’ellipsoïde de révolution, et à plus forte raison sur le sphéroïde irrégulier, ces perpendiculaires concourantes sont des courbes à double courbure. En effet, soit A un lieu situé entre le pôle et l’équateur, et ABB' ( fig. 36) la perpendiculaire à la