LIVRE TROISIÈME. a

méridienne PA ; le premier côté AR de cette ligne sera dans le plan AMR déterminé par la verticale AM et par le côté AB. De même le second côté BB' sera dans le plan BNB', BN étant la verticale du point B : or on verra, au chapitre suivant, que CM>CN; la verticale BN sera donc inclinée sur le plan AMB. Il en sera de même de la ligne BB' qui représente le prolongement de AB, plié suivant une droite parallèle à BN. On prouverait pareillement que B'B" s’écarte du plan BNB', et ainsi de suite; donc les quatre points A , B', B", B'" ne sont pas dans un même plan; donc enfin la perpendiculaire à la méridienne est en général une courbe à double courbure.

Quelle que soit la nature du sphéroïde terrestre , les parallèles à l’équateur sont des courbes dont tous les points sont à la même latitude : sur le sphéroïde de révolution, ces courbes sont planes et circulaires.

162. La situation d’un lieu est déterminée lorsque l’on connaît la perpendiculaire à la méridienne, ou le parallèle sur lequel il se trouve, et sa position sur cette perpendiculaire ou sur ce parallèle. Donc lorsque tous les triangles qui forment le canevas d’une carte géographique ont été calculés et orientés d’après les principes exposés précédemment , on obtient les positions respectives des sommets de leurs angles, par le moyen de leurs coordonnées ou de leurs distances à la méridienne et à la perpendiculaire du lieu principal. Voici comment on calcule ces distances par la méthode de Legendre , et lorsque les sommets des triangles s’écartent peu de la méridienne.

Supposons, comme ci-dessus, que les triangles ABC, BCD yfig. 34) fassent partie d’une chaîne quelconque d’autres triangles dont les côtés soient des arcs de grand cercle d’une sphère ayant pour rayon la distance du niveau de la mer au centre de la Terre, et que l’on connaisse par l’observation l’angle CAX qui mesure l’azimut z du côté AC, ou son inclinaison par rapport à la méridienne AX; on calculera, par la méthode de l’art. 152, l’excès sphérique e propre au triangle rectangle AcC , et l’on établira ensuite ces deux proportions, pour trouver A c, Ce,

sin(ioo8 — i e) : cos(z — f e) : ; AC : A c = x, sin (ioog — i s) ’. sin (z — i Ê) ' • AC : Ce = y.

L’azimut de AB est connu immédiatement à cause de.

BAX = CAB CAX; et, si 1 on calcule l’excès sphérique s' propre au trigngle ABM', on aura

AM' B = 200s — M'AB — ABM' 4- g'.

Pour déterminer les côtés AM', BM', il faudra, comme nous l’avons déjà dit, ôter de chacun des angles sphériques du triangle ABM' le tiers de s', et l’on aura ces deux proportions :

sin (aoos — A — B 4- f g') : sin (B — ± ê') : : AB : AM', sin(aoo« — A - B 4- f g') : sin(A — |e') :: AB : BM',

en désignant respectivement par A, B les angles sphériques M'AB, ABM'.

On connaîtra donc dans chacun des triangles rectangles AôB, M7/D, deux angles et 1 hypoténuse, c’est-à-dire tout ce qu’il faut pour déterminer les cotés A b, ÔB, et M7/, <7D. Donc les distances des points B,D à la méridienne AX et à la perpendiculaire AY seront connues.

Traitant de la même manière le triangle ACN ou M'DN, pour avoir AN et DN prolongement de CD, et ensuite le triangle DNF, pour connaître le côté NF et les angles DNF, DFN, il sera facile de calculer les coordonnées du point F.

La distance JF et les angles DFN, NF/ étant connus, on aura

J FF = 200* — EFD — DFN — NF/;

car tous les angles horizontaux autour d’un même point de station valent quatre angles droits; ainsi dans le triangle rectangle /FP 011 connaîtra deux angles et un côté; on pourra donc calculer l’excès sphérique qui lui convient, l’angle FP/et les côtés J P, FP. Résolvant ensuite le triangle rectangle eEP, on aura de même la position du point E à l’égard de la méridienne AX et de sa perpendiculaire AY, c’est-à-dire les distances Ee, Ae = AP — eP. U est nécessaire, avant tout , de figurer, d après 1 échelle , la chaîne des triangles observés , afin de voir si ceux tels que ACN, eEP , etc. , que l’on forme pour faciliter le calcul des distances à la perpendiculaire et à la méridienne, n’ont pas des angles trop obtus ou trop aigus.