LIVRE TROISIÈME

zrf’r ydxz ds ds °’

zd* x xdxz

ds ds ° ’

xd* y yd1 x ds ds

puis , intégrant, il viendra

zdy — y dz = A ds, zdæ — ocdz = Bcfa, xdy —ydx = C ds ;

A, B, C étant des constantes arbitraires introduites par l’intégration. Enfin, multipliant ces équations respectivement par .r, — j, — r, qui sont les coordonnées courantes de la ligne géodésique que l'on considère ; ensuite ajoutant , on aura définitivement

A æ — By — Cz • = o ;

c’est, comme l’on sait, l’équation d’un plan passant par l’origine des coordonnées ou le centre de la sphère. Il suit donc de là qu’une ligne de plus courte distance sur la Terre supposée sphérique, est effectivement un arc de grand cercle. Nous examinerons plus tard les propriétés d’une pareille ligne , lorsque u = o représente l’équation d’un ellipsoïde de révolution , ou d’un sphéroïde quelconque peu différent d’une sphère.

Représentons par X', X" les angles que les rayons de la sphère , menés aux extrémités de la ligne géodésique, font avec le plan des xy , et par <p', <p" les angles de leurs projections avec l’axe des r. Soient de plus x',y z', et x\ y", z" les coordonnées de ces mêmes extrémités; on aura

x — r cosX' cos<p', y' = rcosX' sinfp', z' = r sin X' ; x — r cosX" cos ^3 ", y" = r cosX" sinip", z" — r sinX";

et à cause de 1 équation précédente du plan , il viendra . par substi-

tution ,

- cosA cos^ — ^ cos A sm<p' — sinX' = o, ^ cos X" cos y" — ? cosX" sin<p" — sinX" = o.

Si l’on suppose que la ligne géodésique, partant du plan des xz , lui soit perpendiculaire, on aura B = o, 9' = o ; ainsi

d’où

g = tang).',

A tangX*

C cos t?"’

cos 9"

tang)/' tang).' ’

équation qui exprime évidemment une des propriétés connues du triangle sphérique rectangle.