LIVRE TROISIEME

D’ailleurs, en différenciant l’équation (1), il vient ^ ainsi

- - = cotH.

ay

Combinant entre elles les équations (1) et (2) , on obtient aisément

2 a4 cot» H 2 b*

b* -+- a» cot*H, ? ~~ b*-ha* coUH’

ou éliminant les cotangentes et extrayant la racine carrée , on trouve

^ a* cos H é>*sinH

\/ b 2 sina H 4- a2 cos* H ’ ^ y^sin’H-t-a’cos1 H

Mais si l’on désigne par e le rapport de l’excentricité de l’ellipse du méridien au demi grand axe, on aura e 2 = a ~ - ; et si en outre l’on

change les cosinus en sinus , dans les dénominateurs des valeurs précédentes, il viendra

^ a1 cos H a cos H \

v/<7a (a»^)sin*H ( 1 — sin1 B.f f , ~

^ ^sinH a(i — c*)sinH ( ^

^ \Za* — ( — b*) sin1 H (1 — c*sinaHp )

Maintenant désignons par N la grande normale AM ; par N' la petite normale AL; par t la tangente AT; par t' la tangente AT'; il est évident qu’on aura , à la seule inspection des triangles rectangles que présente la figure ,

x = N cos H , jr = r cos H , j? = T/sinH, = N' sin H;

partant, et à cause des valeurs de .r et^- trouvées ci-dessus,

N - * - — « T = r sécH^fl(l~e,)tanë-, \

cosH (1 — e’sin’H)^ (1— <?»sm»H)* ( / / \

N' = = - — — ~~ r , r7 = x coséc H = - ° cot — — ; ; l

smH (I— e’sin’H)" (1— e’sin’Hp- J

on a encore

sous-normale LF = N' cos H = a — QcosH^

(1 — e 2 sin1 H )T

sous-tangente FT = t sin H = a(*~e )tangHsn

(1 — c*sin*H)»

nr T 17 a e* COS H

CL = x — LF = - r ,

(1 — tf*sin2H)“

CM = CL tang H

<7ff*sinH

(i — é^sin1!!)7

Enfin, soit r le rayon AC de la Terre; on aura , par ce qui précède,

r = \!x2 -‘r y2 = - - - .v'T— e2 (a -e2) sin2 H. (5)

(1 — e’sin1!!)*

Cette dernière valeur est susceptible de prendre une forme plus simple, et voici comment.

1G8. Si l’on imagine une sphère paE circonscrite à l’ellipsoïde PAE, laquelle ait pour rayon celui de l’équateur; qu’on prolonge l’ordonnée FA jusques en fl, et que par ce point l’on mène la tangente aï : celle-ci et la tangente AT se rencontreront nécessairement au meme point T sur l’axe CX; car, remarquons d’abord que l’ellipse donne

a2 y2 -+- b2 JC2 = a2 b2 ,

et le cercle circonscrit

y 2 ■+■ oc2 = a2, y' étant l’ordonnée «F; de là

et par suite

(fl2— x2), et y2= a2 ~ x2 -y

Mais sous-tangente dans l’ellipse = y fjü = FT ,

sous-tangente dans le cercle •=. y FT' ;