LIVRE TROISIEME

Mais puisque — = cot H , on a , en différenciant ,

d1y dx *

— d\l dx sin* H

coséc2 H,

et par conséquent

dx r «y

p = M cosec H.

Reste à trouver l’expression du rapport différentiel — ; or cela est

facile , car, à cause de x = -

a cos H

— , on a , en différenciant ,

dx =

(i — ^siiUH)1

ÿacosHrf. (i — e*sin*H) — a{ i — e^sinHrfH

(i — e*sin*H)J (i — c*sin,H)T (i — ^sin1!!)2

ad. cos H

Mais dans cette différenciation , x et H sont supposées croître en tnèine temps, au lieu que x croît quand la latitude II augmente; il faut donc changer le signe du second membre, pour avoir égard à cette circonstance : ainsi, l’expression cherchée du rayon de courbure du méridien sera définitivement

( i — e 1 sin* H)*

C’est ce que l’on obtiendrait encore en se rappelant que , dans toutes les courbes du second ordre , le rayon de courbure est égal au cube de la normale N', divisé par le quart du carré du paramètre : or, relativement à l’ellipse, le paramètre = .

Cherchons en second lieu l’expression différentielle d’un arc s du méridien, en fonction de la meme latitude H, et supposons l’origine de cet arc à l’équateur, c’est-à-dire en E : dans ce cas s croîtra lorsque x diminuera , et l’on aura évidemment

ds — — ( dx 2 + djr*)* = — dx i + j = — dx coséc H. Substituant ici pour sa valeur précédente, il viendra sur-le-champ

j al i — e')dR . .

ds = -± - L__ (io)

En rapprochant cette valeur de celle (9), on remarque cette relation connue d’ailleurs,

P ~~ rfH’

c’est en effet celle que donne le secteur infinitésimal formé par deux normales consécutives à l’ellipse, et l’élément ds de cette courbe correspondant à l’angle dfl infiniment petit.

170. On entend par aplatissement ou ellipticité de la Terre supposée un ellipsoïde de révolution, la différence a des demi-axes a, b, celui de l’équateur étant pris pour unité ; c’est-à-dire que l’on fait • a — b

or, l’aplatissement a et l’excentricité e sont liés l’un à l’autre par une relation facile à trouver. En effet, on a d'abord visiblement^ =( 1 — a)2 ;

et de ce que e2 =

tire en outre — = 1 — e2 ; égalant ces

deux valeurs, on obtient la relation dont il s’agit, c’est-à-dire 2a — a} — e2.

On verra bientôt que a est une quantité très-petite, que l’on considère comme du premier ordre ; ainsi le double de l’aplatissement est à peu près égal au carré de l’excentricité. Cependant , il est des géomètres qui prennent pour aplatissement de la Terre, l’excès du grand axe sur le petit axe pris pour unité. Soit a! cet excès; dans ce cas

et comme il est d’usage de faire a = —, soit aussi a' = Alors, à

cause de

b la t

d’où