SÉRIES FONDAMENTALES

171. Lorsqu’on élève au carré chacune des expressions finies des lignes de l’ellipsoïde de révolution, le dénominateur se compose d’une quantité de cette forme : i -+■ n cos z; ainsi l’on peut se proposer de

développer en général la fonction "Ijl ^ôsz’ or^onn^e suivant les cosinus des multiples de l’angle z. Euler, dans son Calcul intégral } a résolu complètement ce problème ; mais la théorie des exponentielles imaginaires conduit au but d’une manière beaucoup plus simple que celle employée par ce grand géomètre. En effet , feignons que l’on ait

A H- Bc * A -h Br" g 1

A, B, a, p étant des coefficients indéterminés, et c la base des logarithmes hyperboliques : or, à cause de cos z = - , on a

a -+* Pc~*

et si l’on réduit au même dénominateur les deux termes du second membre de cette équation , ensuite qu’on égale entre eux les termes

3o6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

homogènes , on aura ces relations

A P + Ba = o, afi = n,

desquelles on obtient

A(aa — p2) = a, a2 = i v/'7— rc2, i? —

. Py.*v/— î

Si, pour abréger, l’on fait f = m, ensuite que l’on réduise en série chacune des fractions et que l’on ait égard

à ce qu’en général cos^z = ^rwP| on trouvera définitivement

^ l+"COS2=(l nl)i ( 1 - 2» + im- COS 22 2m3 cos 3î + *«4 coi 4»...).

La meme méthode s’emploie avec un égal succès pour réduire en sene de cette forme la fonction jog (i + n cos z). Pour le prouver,

soit encore mis ici -■ , au lieu de cos z; on aura

l°g (ï -H n cos z) = log (2 -h ne ^ 1 + nc'1^) - log 2 ; et parce que l’on peut supposer que