LIVRE TROISIÈME. 3o

a et /3 étant indéterminés, on aura, en développant et égalant la quantité rationnelle a la quantité rationnelle , et la partie imaginaire à la partie imaginaire ,

aa + 1 32 = a, a/3 = n;

ainsi

sa = v/a (Vï’+'n -+- y'i - ») , - = — A~'1’ - m

2j3 = Vî (vT-h « - v'," n),

et comme en général log (i + u) = u — ~ ~ on trouvera,

après les réductions convenables ,

(R) log(i-t-rccoss)=log^- -h log ( i + log(i4-/wc~,vC:7)

= ~ l°g -+- 2/fcc [racosz — | m 2 cos iz + ±m3 cos 3 z —

p = 0,43429448 étant ici le module des tables; ce qui est conforme au résultat auquel Euler est parvenu.

172. Développons, par le meme procédé, la fonction On a d’abord

(i-f- «cosz)**

- =: - r(* — 2/w cos z -f- 2/M * COS 1Z — 2m 3 cos 3z -+- im 4 cos4z — etc )•

I+/2COSZ / ,\T 4 h

et si l’on multiplie, ensuite qu’on divise la valeur précédente de m, par i -p y'i — /ia, on aura

D’ailleurs

(H-ncosz)*

— 2m cosz -+- 2m a cos 2 z — 2w3 cos 3z -h etc. '

et si l’on suppose que

! - = - î - [ i -b E(x) cosz -b E(1) cos 7.z -b E(3) cos 3z -b etc. ] ,

( i -4- « cos z)a ^n.jTL

on aura alors

I / I — 2/WCOSZ -b 1W 2 COS 2Z — 2/>i 3 COs3s. . . \

~I l ” I -b /I COS 3 /

-SS - - - 5 [l-bE(l)COSZ-b E(j)COS2Z -b E(S) cos3z. . .];

puis, après avoir chassé le dénominateur i -b ncosz,

— — - — j- (i — a m cosz -b im? cos 2Z — 2m3 cos 3z. . .)

1 fin- E(l) COSZ -b E(a) COS 2Z -b E(SJ cos3z . j

( , n* ) 7 1 -b n cos z-b rcE( f }cos z cos z-bnE( , )Cosz cos2 z . . J

Mais en général \ cos ( v -b 1) z -b \ cos (v — 1) z = cos vz cos z ; ainsi on a l’équation identique

(1 — n2) [1 — 2 m cosz -b 27/2 2 cos 2Z — imz cos 3z -b etc. ]

j 4- E(x) cosz -b E(l) cos 2Z -b E(3) cos 3z -b etc.

-b n cos z -b \ tiE(i) cos 2Z -b { «E(î) cos 3z -b etc .

-b ~ E(l) -b |«E(2)cosz -b |wE(3)cos2z -b £/iE(4) cos 3z -b etc.

Égalant les termes semblables, il vient

i-»2 = 1 -bi«E(l),

+ 2/nJ(i- wa) = E(.) +i«E(3) ,

— 2/w3(i — n2) =E(3) +^nE(j) -b|/ïE(4) ;