LIVRE TROISIÈME

d’où l’on tire, en mettant pour m sa valeur— -j-^===

1 — i -h sji—n1) 2/1

i -+- s/i-ri*

(i -h sji— n*y

2/i4 ( i + 4 v' 1 ~~nl)

E(0 — ITT 7^7 ’

ou enfin , pour abréger,

E(ï) = ‘iin2 (i -h 2V1-722), E(3) = — a/»3 (i + 3\/i-nJ),

E(0 =±2/n'(i + i \j\-ri1).

Telles sont les valeurs que Laplace a obtenues par un procédé différent [Mécanique céleste , tome I, page i56).

173. La fonction (i -v-/îcosz)p peut aussi se développer en série delà forme A + B cos z G cos 2Z -+- D cos 3 z-\- ... ; mais comme nous n’aurons besoin par la suite que du développement particulier de

- - - j, nous effectuerons ce dernier par la méthode naturelle,

(i -f-/icosz)5

laquelle consiste à développer d’abord (i -+-« cos z) : par la formule du binôme, et ensuite à changer dans le résultat les puissances du cosinus de l’arc zen cosinus de ses multiples. Cependant, afin de pou-

3io TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

voir découvrir aisément la loi des coefficients numériques du développement, nous aurons soin de n’effectuer aucune réduction dans la formule générale,

cos z'À = COS [XZ + [X COS (fl — 2) Z p(f* — 0(f* — a)

-fc->cos(p-4)a

TX5 - cos (p-6)z+..

qui, comme l’on sait, exige que l’on s’arrête lorsque l’arc devient négatif, et que l’on ne prenne que la moitié du coefficient du cosinus de l’arc nul que l’on trouvera, si [x est pair.

Il résulte de là, que Ton a d’abord

(1 H- rccoss) ’ =

I— -«C0S2+-.^2C0s22 ln3 cos3 Z

ensuite, en ordonnant par rapport à cos z, cos 22, cos 3 il vient toute opération faite,

(i-+-«cosz) * =

- 2” [îè