LIVRE TROISIÈME. 3i

Cette série , dont le terme général est

( e \u ( u (a-M) («-H-h • ) (u-H-l-a) (a+i-|-3) . . .[«-4-(ai— 3)]/<? Y(,”x) \

trouve son application dans les hautes sciences mathématiques [voj. le tom. I de la Mécan. céleste, page 180) , où il est cependant nécessaire de corriger une petite faute non signalée et facile à reconnaître , d après ce qui précède.

Applications des séries fondamentales.

175. En prenant le logarithme delà valeur de la normale N donnée à l’art. 170, l’on aura , à cause de la série (B),

log N = log a H- \ log (i 4- ?i) — ± log ( i 4- n cos aH)

= log a + i log (i -4- n) -+- i log ( i 4- m3)

— ja O cos aH — i/w2cos4H-+-^w3 cos6H— ...)

= log a ->r fx[m — \m'1 — . )

— p ( m cos 2Ü — \ TO 3 cos 411 4- cos6H— . .

Par la même raison ,

log N' = log -+- [x(m — ^ m2 -+■ — ...)

— /u ( m cos ail — \m2 cos4H + cos6H — ...), log p = log -h 3p(/n—

— 3p(m cos 2H — {m2cos4H4-l w3cos6H — . . .),

et ainsi de même pour les logarithmes des autres lignes du sphéroïde.

Pour ce qui concerne le logarithme du rayon de la Terre, son développement en série sera un peu différent; car de l’équation (5 ), art. 170, on tire

log^ = ilog(i + b) + { log ( 1 4- /l'cosaH)

— | log ( 1 4- ré) — \ log ( 1 4- n cos aH) ;

et à cause de

log (i-H n cosaH) = — log(i-Hw2)

-+- 2 (/Ticos 2H — cos6H — . . .),

et de la relation

= m, on aura pareillement

l°g(M-«' cos 2H)= — log (i + m'J)

+ 2fi(«/cos2H — im'acos4H+Tw/3Cos6H-7-.. .).

D’ailleurs on sait par ce qui précède, que n ' = - ™ a ; donc m' = n,

ou m ' = - ; mais comme n est plus petit que l’unité, cette seconde

valeur de m' ne peut être admise, puisqu’elle rendrait la série divergente; donc

+ P- [ (n — m) cos 2 H — T COs 4H -+-±(n3—m3) cos 6H — . . . ] ;

et puisque n = m = à cause de e2 = “-~b* , on a

i»°g(^)=log(^)-loga;

donc enfin

logr = loga + log[|l±^]

-+- f* [ (nr-m) cos 2H - ±(n*-m2) cos4H + i ( n9-m 3 ) cos6H - .

Dans le second volume de la Méridienne , et le discours préliminaire des Tables du Bureau des Longitudes 3 Delambre a donné le logarithme de r en série ordonnée, comme la précédente, suivant les cosinus linéaires de la latitude; mais j’ai préféré d’en rendre la loi des termes manifeste.