LIVRE TROISIÈME. 3i

Voici ce logarithme, en fonction de l’aplatissement :

logr = logrt-p.[ia-|aa-^a3-(ia-H|a2-ia3)cos sH -4- f(a2 + a3) cos4H — cos6H-+- . . .].

Si , au lieu des logarithmes, on voulait les valeurs mêmes de ces lignes, voici comment on procéderait pour arriver encore à des séries régulières et fort simples.

Par exemple , la valeur de N élevée au carré donne N »

à 1 i -+- n cos 2H ’

et, par la formule (A) de l’art. 171, on a

= (i — •xm cos a H -f- un 2 cos 4H — <im 3 cos bH -H • • • •)

= -(ï — 2/wcos 2 H -h 2/n2 COS4H - im* cos6H-+- ....).

11 est évident que les expressions des autres lignes du sphéroïde se transformeraient également en séries de même forme que cette dernière.

Comme toutes ces transformations sont très-faciles à effectuer, je me dispenserai de les donner. J’observerai seulement que, pour parvenir aux valeurs des premières puissances des lignes du sphéroïde , qui ne continssent de même que les cosinus des multiples de la latitude, il serait nécessaire de suivre la méthode donnée à l’art. 175, pour développer ainsi l’expression du rayon de courbure du méridien ; mais alors la loi des coefficients serait bien moins simple que celle ci-dessus.

17G. Il est à remarquer que les valeurs de n et de m, élevées à une puissance entière quelconque, peuvent être exprimées aussi en

séries régulières ; car d’abord puisque n = - ? on obtient sur le

champ, par la formule du binôme,

3i 6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

et ensuite , par la méthode connue de l’élévation d’un polynôme à la

i-f- n* a^-hb**

ou , si l’on veut ,

n' = a«(i + n2)-' = in (i — n2 -+- n* — n6 -+- . . . .).

Il s’agit aussi de connaître la valeur générale de mu : or on a vu, = m\ par conséquent

à l’art. 171 , que - — — — -

expression qui est la même que celle.de l’article 174; on a donc généralement , en vertu de l’équation (D) ,

iy 2«(2tt + 3) ^ey ^ 2«(attH-4) (a«-f- 5)^c y

a«(a»H-5) (2tt + 6) (2u + n) ( e\ 8

Ha.3.4 \ï) +••••

177. On ne peut évaluer numériquement toutes les séries précédentes , sans connaître les axes de la Terre. A l’instar de la Commission des poids et mesures, qui fut créée à l’époque où l’on introduisit en France le système métrique décimal, j’emploierai à cette recherche les arcs de méridien, mesurés à l’équateur et sur le territoire français, afin de parvenir aux résultats mêmes dont cette Commission rendit compte à l’Institut national, par l’organe de M. Van-Swinden. (Voyez le rapport de ce savant, inséré parmi les Mémoires de cette docte Assemblée, tom. II, page 43)* Mais, avant tout, il s’agit d’intégrer l’équation différentielle d’un arc du méridien.