LIVRE TROISIÈME. 3a

On voit donc que, malgré la correction que nous avons cru devoir faire à la longueur de l’arc de France employé à la détermination de l’unité fondamentale de notre système métrique, la longueur ci-dessus du mètre excède seulement de 7^0 de ligne celle fixée par la loi.

En définitive, quels que soient les différents résultats qu’on obtienne pour la longueur du quart du méridien , le mètre légal déposé aux archives du Royaume, est censé la dix-millionième partie du quart du méridien d’un ellipsoïde Jictij de révolution dont la surface s écarté le moins possible de celle de la Terre ; et il est évident que s’il venait à se perdre, les mesures géodésiques en feraient retrouver la longueur avecun degré de précision capable de satisfaire aux besoins de la science. Mais les observations du pendule qui seront l’objet du chap. 4 du liv. VI, conduiraient bien plus rapidement au même but.

182. L’expression analytique de Q provenant de la première valeur de s de l’art. 177, dans laquelle H = 90°, se développe en une série régulière et très-remarquable, comme nous allons le faire voir. ;

D’abord, à cause de

Q = 7 (■+«)*•; ? et (I (r+;)>

on a

. i / 1 — n\ir 7r (1 — n2)

mais (art. 173)

Par conséquent ,

?( , -" ) = 1 -4*" “FF" - 4-.8--.TF" - ~F>.,»- i6~"

et enfin

Q rt(ï— — ) .-(^ pn 4><8l» ÿ&.ù** 4».8.ia.i6*

3a8 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Lorsque b — o, on a e2 = = i, n=d-îU. =I) etQ = a;

partant

Vll=l [ *-3 5 *-3. 5.7.9 *-3.5 7.9.11.13

w 4* 4**31 42-S2-i2* 4,.81.iaa.ibî ***

C’est aussi ce que Ton trouve à l’aide d’une valeur générale du quart d’ellipse, donnée par Legendre dans les Mémoires de l'Académie des Sciences } pour Tannée 1786.

183. I .a méthode par laquelle nous avons réduit en séries procédant suivant les multiples des cosinus de la latitude , les logarithmes des diverses lignes du sphéroïde terrestre , est surtout usitée en Astronomie , et dans tous les cas où elle peut rendre les intégrations plus faciles, ou bien lorsque Ton veut calculer les termes d’une série convergente, indépendamment des tables de logarithmes. Mais l’emploi de ces tables

permet de développer tout simplement les fonctions - ? - et

(t-+-«cosz)“

log (1 + n cos z)“, en séries procédant suivant les puissances des cosinus de l’angle z ; parce que l’évaluation de leurs termes ne se fait pas avec moins d’exactitude. On pourrait, par exemple, calculer la valeur du logarithme de la normale N, au moyen de la série suivante :

log N = log a -+- l- log (1 u)

~ P ('* cos 2H — — cos2 2H + y cos3 aH — . . . ^ ou même de cette autre

log N = log a -1- ±fjL (e 2 sin 2 H ~ sin 4 H 4- il s\n 6 H j . . . ) ,

qui dérive de Tune des équations (4) de l’art. 167, et dans laquelle le module [x = o,4342q443* On aurait par le même procédé ,

log p = loga + alog^

+ ^(e-sin’H + ^-sin4 H -+- -Ç sin • H +