LIVRE TROISIEME

Cependant il importe, dans la pratique, de choisir parmi les séries d’une même expression , celles qui convergent le plus rapidement. E11 voici d’autres qui ne sont pas moins utiles en Géodésie.

Les valeurs ci-dessus de log N et log p font voir sur-le-champ que

logp = 3 logN + 2 log -a — 2 logrt = 3 log N -t- log^,

et que par conséquent le logarithme du rayon de courbure du méri ■ dién peut facilement se déduire d’une table qui donnerait celui de la normale N, connaissant d’ailleurs les logarithmes de a et de b.

Quant à la valeur du rayon r, on la mettra sous cette forme :

r = - - - r ^i — e* (a — e2) sin 2 H.

(i — e3 sin*H)s

Passant de là aux logarithmes et faisant , pour abréger, e\ i — ea) = X:2 , on trouvera facilement cette série régulière :

logr=log« + ^[(e3-A:a)sin2Hq-i(e*-^)sin<H+i(e#-A:6)sin#H....]; mais en bornant la série aux termes en e4, on a simplement log r = log a — i [l (ea — e4 ) sin aH — £ p. e4 sin 4H ; et en éliminant log a donné précédemment, ih vient log r = log^ -I-tP-62 cosaH q- ^ p.e4 -f- i.ae4 sin2H — |e4sin4H..., ou en fonction de l’aplatissement,

log r = log -^q-^acosaH-+--i^-p.aa -4- cosaH — f ,uaa cos 4IL . . ,

Q représentant, comme ci-devant, le quart du méridien, et n le rapport de la circonférence au diamètre.

Si l’on voulait la valeur immédiate de ce rayon, elle serait donnée

par cette série régulière

r = a\i — (e2—eA) sin2H — (e* — e6 ) sin 4H — (e6 — e8) sinflH....

Faisant disparaître le radical en élevant à la puissance \ la quantité qu’il renferme, et s’arrêtant, dans le développement, aux termes en e4, il vient

r = a [i — \{e2 — e*) sin 2H — f e* sin4H...].

Remplaçant maintenant e2 par sa valeur ia. — a2, on a enfin, sans erreur sensible et toutes réductions faites,

r = a (i — a sin2H -H a2 sin 3 . 2H) ,

expression toujours suffisante , à cause de la petitesse du 3e terme , et à plus forte raison, des termes subséquents.