CHAPITRE XI Y

CONTINUATION DE LA RECHERCHE DES EXPRESSIONS ANALYTIQUES DES DIVERSES LIGNES DU SPHÉROÏDE TERRESTRE.

184. On s’est proposé, à l’art. 177, d’exprimer un arc d’ellipse en fonction des latitudes de ses extrémités ; mais , dans la pratique de la Géodésie , il est quelquefois plus commode , lorsque cet arc a une petite amplitude, de l’avoir en fonction de son rayon de courbure.

Soient A un arc du méridien, U son amplitude, H la latitude de son extrémité sud , et p son rayon de courbure au meme point ; on a en général , par le théorème de Maclaurin ,

les valeurs des coefficients différentiels étant déterminées pour le cas où U = o. Mais, par l’art. 170, (^ = = pî si donc on

r VH/ (,e’sin»H)7

calcule les coefficients différentiels suivants , en ne conservant que les termes en e2, on trouvera aisément

3 21 2 sin 2H

2 2.3.4 ^ ^ * — e * si® * H série régulière et qu’on peut écrire plus brièvement ainsi :

A = pV sin 1" ■+■ j ~ pN* sin »H . UJ sin 1 i

+ ■; pN5 cos îH.Ü* sin3 i" — .

2 fl 1 1

33a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

en supposant l’amplitude U exprimée en secondes , et désignant par

N la normale à la latitude H (*).

Or il est remarquable que tous les termes en U2, U4, U6,... forment cette suite:

y 3e^p sin 2H r(2Ü)2 (2U)4 (2U)6 1

2 2 2 * 1 — e2 sin 2 H j 2 2.3*4 a. 3. 4. 5. 6 * ’ * J’

tandis que les termes en U3, U5, UT, . . . forment celle-ci :

v, COS2H f(aIJ)3 (2U)5 , (2Ü)7 ] .

2 a2 sin? H) l 2.3 2.34.5 2.3.4.56.7 “'J5

ainsi , en négligeant les termes en e4, on a

V = feapsin2H [1 — cosaU], V' =|e2pcosaH[aU — sinaU]; et partant , sous forme finie ,

A = pU + f e2p[sinaH(i — cc)S2U)H-cos2H(aU — sinaU)]

= pU-+-|e2(o[sinaH — sin a(Hq-U)-t-2Ucos2H].

Mais si H et H' sont les latitudes des extrémités de A , on a U = H' — H, et par conséquent

A = p (H' — H) [ 1 •+• cos aH — | g» si°Uco^H' + H) j

(?) Cette série, qui a la forme A = pU -I-p'U2 4-p"U3. . . , se rapporterait à un arc de méridien dont l’origine H serait au Panthéon et l’autre extrémité plus au nord , en faisant

loge = 5. 0460677, loge' = 0.97 15463, logP// = 8.i6797;

ce qui suppose que les dimensions de 1 ellipsoïde sont celles admises dans les opérations géodésiques de la carte de France (181), et que l’amplitude U de l’arc est exprimée en degrés sexagésimaux. Cette amplitude devrait être prise négativement si l’arc A s’étendait au sud du Panthéon. (Voyez Descript. géom. de la France , tome II, page 636.)