LIVRE TROISIÈME

résultat bien peu différent de celui que nous avons obtenu précédemment en poussant plus loin l’approximation.

185. La méthode employée ci-dessus, pour développer un arc en série ordonnée suivant les puissances de son amplitude, s’applique également au problème inverse. En effet, on a généralement

mais

/rfH\ (i — e2sin*H)T

\rfA / a ( 1 — e *) p ’

cherchant donc les autres coefficients différentiels , et ne conservant que les termes, en e3; puis faisant attention que e3 = tang3 I , et que

N = p' = - - - r , on obtiendra en parties du rayon ,

(i — e * sin* H)T

(II) U = *-?tang2IsinîH.^ - tangM co« »H. £

+ ï-04tangÎIsin2H-^+”;

série encore régulière , et dont la loi des termes est en évidence. Jamais, dans la pratique , on n’a besoin de tenir compte du quatrième terme.

Si l’on bornait la série au terme A3, et que l’on conservât la quatrième puissance de l’excentricité , on trouverait

(III) u==A 3«-,*sin,H

a*e* Tcos 2H

e * sin* 2H [ 3 a1 ( p'

ib* L>p' ‘

mais comme, par cette formule, l’amplitude U serait donnée en parties de l’unité , il faudrait , pour l’avoir en grades , multiplier tous les termes

du second membre par n ayant la même signification que cidessus.

186. Jusqu’à présent nous n’avons considéré que le rayon de courbure de l’ellipse génératrice de l’ellipsoïde de révolution : occuponsnous de la recherche de celui d’une section faite dans ce corps, par un plan mené d’une manière quelconque suivant une des normales; et, pour cet effet, désignons par x', y' les coordonnées rectangles d’un point de la limite de cette section verticale; prenons pour axe des x' la normale à un point du méridien elliptique ayant H pour latitude; plaçons l’origine des x' au point d’intersection du rayon de l’équateur et de la normale dont il s’agit; enfin , désignons par x, y, z les coordonnées rectangles d’un point quelconque de l’ellipsoïde de révolution, de manière que le rayon a de l’équateur soit l’axe des x , b celui du pôle l’axe des y, et la droite perpendiculaire au plan des xy l’axe des z. Cela posé, l’équation de l’ellipsoïde, rapportée au centre, sera

or, pour trouver en général l’équation de la section faite dans ce corps, il faut, comme l’on sait, substituer à x, y, z les valeurs suivantes :

( x = Y] +JC*/cosH-h7'-'sinHcos$ ,

W < y =.r'sin H — y' cosHcosô ,

( z ==^' sin S ,

dans lesquelles 0 est l’angle que le plan sécant fait avec le méridien xy , et yj la distance du centre de l’ellipsoïde au point où la normale rencontre le rayon de l’équateur (art. 167) , auquel cas yj = — — lcosH

(i — e* sin2 H) 7

e désignant toujours le rapport de l’excentricité au demi grand axe. Ces substitutions faites, on a un résultat de cette forme :

(3) nuc'2-\-ny'2 — px'y' qx' + ry' = s;

c est 1 équation à 1 ellipse, ou celle de l’intersection cherchée. Il est facile de voir que l’on a

/ m = à1 sin2 H + b2 cos2 H, n = b2 -h (a2 - b2) cos2 H cos2 0,

(4) | p = i{a2 — ù2) sin H cos H cos 0, q = zTlb2 cosH,

( r = av;£>2sinHcos0, s —{a2 yj2)ù2.