LIVRE TROISIÈME

Lorsque cette ellipse est perpendiculaire au méridien , on a 0 = \ t: et pour lors cos 0 = o; circonstance qui réduit l’équation (3) à la suivante :

(5) (æ2 sin2 H + £2 cos2 H)ar'2-+- 2yjÆ2cosH..r'4- ^j*'2 = (a2 — y)2) b 2,

et de laquelle, en faisant f = o , l’on tire

/ — b*v cosHdry^qa* — n2) (a2sin2H -4-62cos2H) + 64ti2cos2H

X a2sin2H -t- 62cos2H

Soient donc x\ , x\ ces deux racines, abstraction faite de leurs signes; on trouvera , avec un peu d’attention , et après avoir mis pour yj sa valeur rapportée ci-dessus,

, a( i — e%) , a {i — e*) ( i -f- e* cos2 H)

xx = - - - - r» x, — - * - - ;

(i — e2sin2 H)2 (i — <?*sin2H)2 (i — e2cos2H)

la première racine est la normale N' (art. 167), et la seconde racine , la partie opposée de la corde x\ xi .

Soient en outre a' le demi grand axe de l’ellipse dont il s’agit, et b' son demi petit axe; on aura •

2 (» — e*sin2H)2’(i — e2cos2H)

Pour trouver le demi grand axe , on chassera le second terme en x' de l’équation (5), et cela en faisant *'■=*'- ^Tn. hT t ros- H ; de

cette manière on aura

, 3 . I •■■‘y'- *■(<■■— ■1Ka,sin‘H+*‘cos‘ H) + H

(aJsm2H + c> cos n)x + b jr «*sin*H-l-4‘cos"H ’

ou , pour abréger,

mx"2 -+- nj'2 — P.

Mais à x" = o correspond j' = a'; partant

(i— e2sin2H)2 (i — c2cos2H)2

Si au contraire on faisait jr/=:o, on aurait oc" = b', et l’on retomberait sur la valeur du demi-axe trouvée ci-dessus , ou , ce qui est de même , on aurait

Enfin , désignant par e' l’excentricité de cette même ellipse, on aura

et, à cause des valeurs précédentes,

, , e * sin * H

i — c* cos* H

187. Maintenant, pour avoir l’expression générale du rayon R de courbure de la section que l’on considère , quelle que soit d’ailleurs la valeur de l’angle 5, nous ferons usage de la formule connue, savoir :

dy'*

dans laquelle la différentielle dy est constante; et pour introduire ici les valeurs de ^et^j, nous différencierons deux fois de suite l’équation (3); mais comme nous avons en vue de trouver le rayon de courbure à l’origine de la normale à l’ellipse du méridien, nous fei ons alors y o dans le résultat de la différenciation , en sorte qu’il viendra

±! {r—px') d'x'. ~ (rfpO + *P ( jï) - ™

dy' q + amx” dy '* T+W - ï

et puisque la section est faite suivant cette normale, on a (art. 167) , b *

a( i — <?*sin* H) 1