LIVRE TROISIÈME. 33g

Il résulte de là et des relations (4), que la quantité r — px' = o; donc quand le rayon de courbure cherché coïncide avec la normale à l’ellipse du méridien , on a simplement

Remplaçant maintenant m , q , «, x' par leurs valeurs précédentes, on a, pour une section verticale quelconque,

(i — e 2 sin2 H)r[6lH-(a* — ô2)cos2 H cos20]

Soient p et p' le rayon de courbure du méridien et celui de l’arc perpendiculaire au même point; on aura le premier en faisant 9 = o, et le second en faisant 9 = ioog : ainsi, comme l’on sait d'ailleurs, les rayons de plus petite et de plus grande courbure de la Terre sont

i (i — e 2 sin2 H) *

( i — e 2 sin 1 H ) *

On voit par là que la valeur de p' est égale à celle de la normale N (art. 167).

Afin de donner à l’expression (6) une forme symétrique et dépendante de pf p', on pourra d’abord écrire

** — b 2 ) cos 2 H cos* 0 b 2 -f- (a* — b*) cos2 0 — (a 2 — b *) sin 2 H cos 2 0 ’

et mettre b2 sin3 9 + b2 cos2 9 au lieu de b2; ce qui donnera

^ a 2 cos 2 0 ( i — e 2 sin 2 H ) -h 6 2 sin 2 ?'b*

= „(,-«» sin* H)*r ‘,cos‘9 < + — y

|(i — <?2sin2H)* a( i — ff*sin2H)"J

w p sin20 ■+- p'cos2 0

enfin,

34o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Tel est le résultat auquel Euler est parvenu le premier, par une autre méthode analytique. Il exprime une propriété remarquable de l’ellipsoïde de révolution; mais cette propriété, commune aux surfaces courbes en général (voj. la théorie des osculations de ces surfaces, Calcul différentiel de M. Lacroix, tom. I, pag. 3ya? 2e édit ), se démontre très-directement, par l’analyse précédente.

188. Une ligne géodésique menée dans une direction quelconque, se confondant sensiblement, dans une étendue de plusieurs degrés, avec la section verticale correspondante, ainsi qu’on le prouverait k l’aide des formules que nous donnerons par la suite, il s’ensuit que l’arc d’un degré d’une section perpendiculaire au méridien peut être pris pour l’arc de plus courte distance ayant même amplitude et même direction. Cela posé, si l’on désigne par D, M et P le degré oblique, le degré du méridien et celui qui lui est perpendiculaire, on pourra,’ dans l’expression ( 7) , remplacer R , p et p' par D, M et P, puisque le.s arcs semblables sont entre eux comme leurs rayons; on aura donc