LIVRE TROISIÈME

Il ne serait pas difficile de prouver en outre que

Z ' = 200g -+- Z — u sin Z tang \ (H-4- H ' ) -f \ m2 sin \" sin Z cos Z tang2 II ;

mais cette formule ne serait guère plus simple à évaluer que la précé dente , à moins qu’on ne jugeât inutile de tenir compte du troisième terme , dans un calcul provisoire.

La première formule (a), bornée aux termes du second ordre, s’obtient encore plus simplement ainsi qu’il suit.

D’abord dans le triangle sphérique pMM' supposé obtusangle, on a cette relation

sin II' = sinH cosu — cosll sinw cosZ,

et comme la latitude II' ne diffère de H que d’une petite quantité , soir alors H' = H -|- x ; on aura

sin (H x) = sin H cos u — cos H sin** cos Z.

D’un autre côté , à cause de cos x=z i — x— . . . , et de cos u — i — u— . . , il viendra, après les développements nécessaires ,

x — — u cosZ — \ u 2 tang H H- \x‘ tang II ;

ainsi, par une première approximation , x — — mcosZ. Mettant alors cette valeur dans le second membre, on aura plus exactement

x = — u cosZ — \ u 2 sin 2 Z tang H ,

et enfin la valeur de H'=Hh-.t sera telle que l’indique la formule \a .

Toutefois cette latitude H' appliquée au point M' sur le sphéroïde terrestre, serait un peu fautive, car la véritable latitude de ce point est l’angle M'N'Q' que la normale M'N' sur l’ellipsoïde de révolution fait avec le plan de l’équateur dont la trace, sur le méridien PE, est la droite CE; tandis que la latitude déterminée par la formule (a) est représentée par l’angle que l’oblique M'N fait avecNQ; N'Q' et NQ étant supposés deux plans parallèles à CE. La correction de lati-

35o TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

tude, que nous désignerons par <|>, est donc l’angle NM'N', puisque dans le triangle N'M'R l’angle extérieur M'RQ' = H' vaut la somme des deux intérieurs opposés NM'N', M'N'Q', de sorte que

sin ij/ =

JVN'.sinPÎS'M' N' M'

Mais avant de rechercher la valeur exacte de cet angle, nous ferons remarquer que quand la ligne géodésique R est au plus d’un demidegré, son amplitude H' — H = sur la sphère devient AH sur l’ellipsoïde, et que ces deux amplitudes d’arcs de même longueur étant entre elle!» réciproquement comme leurs rayons de courbure N, p (art. 170), on a cette proportion

ah : du : : N : p ; : i : L~gl

i — e1 sin 2 H 7

d’où l’on tire à très-peu près

AH = û?H(i -+-e2 cos2 H), et par conséquent = dHe2 cos2 H; donc enfin la latitude H' corrigée est

(«') H ' = H — (u cosZq- sin i" sin2 Z tang H)(i-+-e2 cos2 H ) , et l’on a en secondes

K (i — e* sin’ H )7 K

a sin i* ]N sm i"

Les formules (b), (c) ne sont pas non plus celles dont on fait communément usage, parce que quand la latitude H' est connue sur le sphéroïde, on s’en sert pour déterminer P' et Z'; mais il faut dans ce cas, introduire H' dans les valeurs de ces deux inconnues : or, c’est à quoi l’on parviendra tout d’abord; car d’une part, le triangle sphérique donnant

sin (P' - p sin^sinz cos H' ’

on a, à cause de la petitese de u ,

ttf) P' = P + üi1*^;

V ' rr»c H' »