LIVRE TROISIÈME

d’autre part , dans le même triangle, Ton a , en vertu de l’art. 78 ,

tangi(M + M') = coti(P'- P)

et puisque cot = -a— , on peut écrire

cot { (M + M') = tangi (P' -

= tang[i' -i(M+V)];

mais i» — i(M-t-M') et P' — P étant toujours des angles très-petits, on a simplement, à cause de M+M' =Z' — Z ,

aoog -h Z — (P'

p , sin { ( H 4- H ' )

> cos±(H — H')‘

Il est évident que ces formules n’éprouvëraient aucun changement dans les signes de leurs termes, si l’on voulait, compter les azimuts et les longitudes du sud à l’est; et que si l’on s’en tenait seulement à la convention reçue pour les azimuts, il faudrait affecter du signe positif ^ les longitudes occidentales , et du signe négatif les longitudes orien- * taies.

194. Nous avons fait tout à l’heure, à la formule de latitude, la correction dépendante de l’excentricité des méridiens terrestres. Quant aux formules de longitude et d’azimut, désignées par ( b ') et ( c '), elles s’emploient sans modification , parce que l’aberration de sphéricité n’a sur elles aucune influence sensible. On voit en effet, que l’angle MpM' des deux méridiens sphériques est le même que celui des deux méridiens elliptiques PM, PM'. Mais de combien l’azimut pM'M, sur la Terre sphérique, c’est-à-dire l’angle des deux plans pM'N, MM 'N, diffère-t-il de l’azimut PM'M, sur la Terre elliptique, c’est-à-dire de l’angle dièdre PN'M'M? C’est ce qu’il faut chercher.

Si l’on considère le point M' (Jig. 40 comme le centre d’une sphère , sa surface sera coupée par les trois plans MM'N, N'M'N, MM'N', suivant le triangle sphérique aN/w: or, dans ce triangle, on connaît l’angle flNw : c’est l’azimut calculé. On connaît en outre l’arc N m ou l’angle

N'M'N = qui est la correction de latitude; et à cause de l’angle MNM' = «, on a, en considérant le triangle MM'N comme isoscèle,

arc «N = i" — ” ; donc si § désigne la correction d’azimut, et z,

l’azimut vrai compté du nord , on aura zt — § = aNm = azimut approché z' compté de même. Il résulte de là que dans le triangle sphérique «N/ra, on connaît deux côtés et l’angle compris, et qu’il s’agit de déterminer l’angle ou l’azimut vrai m'am = zt. Or, N m = ^ étant très-petit, la solution de ce problème se trouve dans la formule (c) ci-dessus. On a donc, à cause de iriNa = z' compté du nord,

zt = z' -h sin z' tang ^ ... ;

d’ailleurs <|* = e 2 AH cos2 H = e2u cos Z cos2 H; il en résulte

zt = z' 4- e2u sin z'cosZ cos2 H tang

ou enfin , parce que u est un très- petit arc , et que Z et z' different peu l’un de l’autre,

zt = z' ■+- \ e2u sin aZ cos2 H tang u.

La correction d’azimut , représentée par le terme \ e2 u tang u sin aZ cos2 H,

et qui se trouve du troisième ordre, peut donc toujours se négliger. deuxième solution.

IHo. Quoique les démonstrations des formules précédentes soient tres-élémentaires , cependant ceux qui connaissent le Calcul différentiel préféreront sans doute la méthode suivante, à cause de son élégance et de sa généralité , et parce qu’elle conduit plus rapidement aux mêmes résultats.

Conservons d’abord la notation précédente, puis considérons PA Jig. 4o bis comme le premier méridien, et AM" comme un grand cercle