LIVRE TROISIÈME
dont la partie AM = s soit constante de direction , mais variable de grandeur, et dont l’autre partie MM' = K représente un côté de triangle. Cela posé, si l’on mène les autres méridiens PM, PM' ayant respectivement H, H' pour latitude, et P, P' pour longitude; que de plus V, V' soient les angles PMM', PM'M", ou les azimuts de R et de son prolongement , comptés du nord ; on aura généralement
la lettre / étant le signe d’une fonction indéterminée. En supposant donc que s reçoive un accroissement R , on aura , en vertu du théorème de Taylor,
ds
ds
ds 2 djP
Maintenant, pour déterminer les valeurs des coefficients différentiels, formons le triangle sphérique différentiel APR, dans lequel AR = ds, l’angle APR = dV et l’angle extérieur PRM' = V -+- d\ ; ce triangle offrira évidemment ces relations :
sin(V-t - rfy) cos H 1 sin V
cos (H -h «/H)’
sin H cos ds -H cos H sin ds cos V ,
sinrfP
sin ds ~ sin (V + rfV) __ cos H
sin (H -+- û?H) =
puisque AP = ioo° — H , RP = iooc — (H -P e?H). Si l’on chasse les dénominateurs, qu’on développe, enfin qu’on réduise conformément à la doctrine des infiniment petits, on obtiendra sans peine
d P __ sin V ds cosH 7
dïï = tangV tangH,
rfH
— cos V,
et par suite
57 = sinV tang H.
Les trois coefficients différentiels tie premier ordre étant connus , l’on passe sans difficulté à ceux des ordres supérieurs, en regardant seulement ds comme constant; et tout calcul fait on a, y compris les coefficients du premier ordre , *
=cosV- (^) = -si"SVtangH, (!^jr) = - 3sinJ v cos v (5 H- tang2 h) ;
sin V ld* P' \ sin 2 V tang H \ds ) cosH ’ \ ds‘ ) ~ cos H 9
(<P P'\ 2smVcos*V, , n„v 6sinV/i \
\ ds3 ) - cosH + ^tang H) - c^Th (3 *“** H) J
(ir) = sin v ta"g H> (^r) - ; sin aV (atang2 H + i)
(Sr) =- 6sin3VtangH(g-t- i tang2H)
-h 6 sin V cos2 V tang H (f -4- tang2 H ) = 6sinVcos2 YtangH(i -4-^tang2H) — 6 sin Y tang H (| -f- 1 tang2 H).
Si l’on s’arrête aux quantités du second ordre , et que l’on compte les longitudes et les azimuts du sud à l’ouest , ce qui exige que l’on fasse V = 200 — Z , et V' = 4°° Z', on retombera précisément sur les séries
(a), [b) f (<?), en supposant d’ailleurs K réduit en secondes et représenté par u.
Pour faire à la première de ces formules la correction due à l’ellipticité de la Terre , nous nous appuierons encore sur ce principe , savoir : que les arcs de meme etendue sont en raison inverse de leurs rayons; mais au lieu de prendre le rayon de courbure du méridien elliptique à la latitude H de départ, nous considérerons, pour plus de précision,
