LIVRE TROISIÈME

nous avons cherché à la modifier de manière à la réduire à ses deux premiers termes sans en altérer sensiblement l’exactitude , et nous avons remarqué qu’il suffisait pour cela de faire

K cos Z R sin i "

t K * sin * Z ■* NRsini"

tangi(Hq-H').

En effet, si l’on développe tang \ (H + H') = tang (H -+-|dH) , dH étant la différence approchée des latitudes, et si l’on observe que

dû = — ^ cos Z , à très-peu près , il viendra , en arrêtant le développement aux termes du troisième ordre ,

— sin2 Z tang H ~ sin 2 Z cos Z {i + \ tang2 II), tandis qu’on devrait avoir

- A sin ’ Z tangH + ^ sina Z coï*H-h* tang* H).

Mais il est aisé de voir qu’à la latitude de 4$ degrés le facteur binôme du dernier terme serait \ d’une part et -f de l’autre , et qu’en définitive il y a presque compensation. C’est d’ailleurs ce qu’un exemple numérique va mettre hors de doute.

D’après les données ci-dessus , la nouvelle formule (a) donne

et puisque le premier terme est le même que précédemment, l’on a

H' — H = — i°,4ao9*,433 — o*,4a3 = — i°, 4^09, 856.

On pourra donc, à l’avenir, substituer cette formule à la première (A'), et être sûr qu’elle procurera , à très-peu de chose près , les mêmes résultats, puisque, dans l’exemple actuel, la différence est à peine dans les millièmes de seconde centésimale.

La plus courte distance de deux points donnés sur le sphéroïde terrestre, par leurs latitudes et leurs longitudes géodésiques , est susceptible d’être déterminée exactement par les formules précédentes, lors-

qu’elle est très-petite à l’égard du rayon de la Terre , ou, comme on dit, lorsqu’elle est de l’ordre de l’aplatissement. En effet, si, dans les deux formules (A'), (B') employées ci-dessus , on pose

x = RcosZ, et y = K sin Z,

et qu’on néglige , dans la première , le troisième terme qui est à peu près insensible pour les plus grands triangles dont on peut observer les angles, on aura évidemment à résoudre ces deux équations