LIVRE TROISIÈME

Terre que l’on peut supposer sphérique dans cette circonstance. Si, en vertu de la variation observée dans l’angle BAC , le point B doit être transporté en B', tout autre point b lié invariablement au premier sera , par suite du mouvement commun autour de A , transporté en b' ; et l’angle bkb ', qui est égal à BAB', sera la variation d’azimut , variation que nous supposerons de quelques secondes seulement. La question , envisagée sous ce point de vue , est donc ramenee a la recherche des équations différentielles d’un triangle sphérique dans lequel un angle est variable et les deux côtés qui le comprennent sont constants

Soient ABC ce triangle , et a, b, c les côtés opposés aux angles de mêmes dénominations ; on aura

cos a = cos b cos c sin b sin c cos A , (i)

cos c — cos a cos b -4- sin a sin b cos C, (a)

sin A sin c = sin et sin C. (3)

Si l’on différencie les deux premières équations, en faisant varier A , a et C, et regardant b , c comme constants, on aura

da sin a = dA sin A sin b sin c ,

0 = da sin a cos b -4- da cos a sin b cos C — dC sin C sin a sin b.

. . , sin <7 sin C

Mais de la troisième équation 1 on tire sin c = : mettant cette

valeur dans la première équation différentielle, on obtient da = dk sin b sin C ; (m)

et introduisant cette valeur dans la seconde, on a

dC =— cosb (i — cota tangè cosC) dk. (ri)

Soient maintenant H la latitude vraie du point A; H' la latitude approchée du point B ; Z l’azimut approché du côté BA , observé sur l’horizon de A , et compté du sud à l’ouest depuis o jusqu’à 4oog; enfin P' la différence approchée des longitudes des points A et B : les formules de correction (ni) et (ri), relatives à la variation d’azimut de départ, seront

respectivement

dW = cos H sinP'efZ, (m!)

dV = sin H (1 — tangH' cotH cos P') dZ ; (n')

puisqu’en supposant comme de coutume Z < iooG on a nécessairement da — — ^H', dk = - dZ et dC = d P'.

Si, au lieu de la longitude P', qui pourrait être inconnue, l’on voulait employer la perpendiculaire^ abaissée du point B sur le méridien de A, on aurait évidemment

sin C

sin y

ou sinP' =

sin y cos H' ’

et alors l’équation différentielle (m! ) se changerait en celle-ci :

jTT/ cos H

«H = — - 7 sm r.dZ. m" cos H'

Il résulte de là, que

latitude vraie du point B = H' ■+■ dR' . différence de longitude des points A et B = H' H- dV .

J’observerai que la variation d’azimut d Z doit être prise avec son signe, et que Z doit, dans ce cas particulier, se compter du sud à l’est, si l’on ne veut pas faire y ou P' négatif.

On concevra encore mieux l’utilité de ces formules en résolvant quelques-unes des questions qui se présentent naturellement dans la mesure d’une ligne géodésique. Si , par exemple , on voulait savoir quelle est l’influence qu’une erreur sur l’azimut de départ peut avoir sur la longueur d’un arc de parallèle , la formule différentielle (rc') serait propre à faire apprécier cette influence. Soit donc

d pP0 = sin Hco (l ~ tang Hc*> cot H(1) cos P(J0) dZ,

étant la latitude du point de départ ou de l’origine de l’arc mesuré, dZ l’erreur de l’azimut en ce point, H(w) la latitude de l’autre extrémité du réseau qui mesure l’arc dont il s’agit, P(w) la différence des longitudes de ces points extrêmes, et dV{H) l’erreur sur cette

différence des longitudes produite par celle de l’azimut.

Pour application , supposons

dZ = 20", II = 44° 3o', Hw = 45°, et Pf„ = 5°; on aura par les logarithmes

log d Z = i .2oio3o logsinH(l) = 9.845662

log dZ sin H (l) = 1.046692 = -+- 1 1 ", 1 35 1. tangH(B) = 0.000000 1. cotH(l) = o.oo758o