LIVRE TROISIÈME
Au lieu de nous arrêter ainsi à des cas particuliers , envisageons la question sous le point de vue le plus général , et pour cet effet remarquons que, puisque les triangles sont jugés d’autant meilleurs que l’erreur T de la somme des trois angles de chacun sur deux angles droits , plus l’excès sphérique, est plus petite, c’est se rapprocher de la doctrine des probabilités que de supposeras corrections xy, x/y considérées dans la note précédente, proportionnelles aux erreurs T, T',... de ces triangles , abstraction faite des signes de ces erreurs. D’ailleurs Laplace a prouvé que la manière la plus avantageuse de répartir les erreurs T, T',..., dans chaque triangle , est de les distribuer par tiers sur chacun des angles. Faisant donc
x =J = ?iT,
*=yf = qi T',
la formule (5) se changera en celle-ci :
= x r— TcotA — T'cotA'— 1
aW L-+- TcotB 4-T'cotB' + .. J’
dans laquelle q sera une constante facile à déterminer, puisqu’elle est seule inconnue.
Maintenant si BM (Jig . 2, PI. IX) est une ligne méridienne mesurée parle réseau trigonométrique BCKM, et que Z, Z', Z ",.••> Z(n) soient les azimuts des côtés a, a\ a",..., a{n) , comptés du sud à l’ouest, on trouvera sans peine, en supposant les méridiens parallèles dans la zone étroite qu’occupent les triangles , et considérant les angles sphériques,
+ af 4- y" y
et ainsi de suite. Partant , les corrections des angles azimutaux seront
4io
successivement
dU = H- j, e?Z" = i + / cJ'Z'" = ^ + j - æ' - j'
dU*> = J? — .r' + X" — x"'...± X(n~t]
et la formule (6) que nous avions trouvée dans l’hypothèse de dU = <?Z" = .... = o, devra être remplacée par la suivante:
s JO g(»)
(6') “jesr = iw — tang z(n) • *z« ,
qui fera connaître la correction d’une partie J(n) quelconque de la ligne méridienne mesurée, et, par suite, de la totalité de cette ligne; et qui dérive de la différentielle de J(n> = — a[n) cosZ"L S’il s’agissait au contraire d un arc de parallèle (Jig. 37, tome IP, on aurait, en conservant la même notation ,
jw
^ + cotZ<">. («*>.
La formule (5') rentrerait naturellement dans celle (4) si tous les triangles étaient équilatéraux, ou si toutes les erreurs T, T', . . . étaient nulles ; mais ces deux cas n’ont jamais lieu dans la pratique. On voit que par ce dernier système de correction , les angles des triangles , dans lesquels T= o, restent intacts.
Il est évident que, pour se conformerau principe de l’homogénéité, le premier membre de l’équation (5') doit être divisé par sin 1", et que la valeur de dZ(n) dans l’équation (6' ) doit être multipliée par sin 1".
Vu la simplicité de ce procédé et de celui qui précède , il serait utile d’en légitimer l’emploi en les soumettant à l’analyse des probabilités. Mais voici en peu de mots comment Laplace applique cette analyse à la question qui nous occupe en ce moment.
