CHAPITRE XVI1L

ÉVALUATION DE l’ÉTENDUE SUPERFICIELLE DE LA TERRE , ET ü’uNE PARTIE DE SA SURFACE.

De la mesure de l’aire d’un triangle et d’un trapèze sphériques .

*208. Les triangles qui couvrent le pays dont on a levé la carte , présentent souvent une sorte de ramification continue autour du centre du lieu principal ; mais quand même ces triangles ne seraient pas tous liés immédiatement les uns aux autres , la question proposée serait toujours ramenée à calculer les aires des triangles ou des quadrilatères sphériques que renferme le terrain. Quant aux petites portions de surface qui pourraient être comprises entre les limites du pays et les côtés des triangles ou des quadrilatères extrêmes dont il s’agit , leur évaluation s’effectuerait aisément à l’aide d’opérations graphiques exécutées sur la carte même, comme on le verra dans le Traité de Topographie.

Lorsque les triangles d’un réseau ont peu d’étendue, leur courbure est insensible, et alors on les, considère comme des triangles rectilignes dont la surface s s’obtient par la formule connue

s — — sm L.

S’ils sont de premier ordre, on en évalue la surface au moyen de la série donnée à la fin de l’art. 100, mais qu’on peut, dans tous les cas, borner au second terme.

En général on a, pour un triangle sphérique ABC,

4i6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

s désignant l’excès des trois angles sur deux angles droits. Lorsque l’aire delà sphère est évaluée en triangles trirectangl es (Géom. de Legendre, liv. VII), l’excès e réduit en parties du quadrant exprime l’aire même du triangle : alors si S est la surface de la sphère, donnée en mesures connues, on aura £ exprimée en mêmes mesures, par le quatrième terme de cette proportion ,

puisque la surface de la sphère est composée de huit triangles trirectangles. Or, cette surfaceS = 4^3, p étant le rayon de la sphère, et 71 le rapport de la circonférence au diamètre. Donc, pour les triangles sphériques qui font partie de la surface du globe terrestre , on a , en mètres carrés ,

S = 4^(6366 198)*, et logg^= ii,8o388oi,

ou un peu plus exactement, en prenant le milieu entre les logarithmes des deux demi-axes de la Terre donnés par Delambre Base du Système métrique , tome III, page 196),

log S = log [\7i H- 2 log 6,80387 92654 = 14,70696 83948; ainsi S = 50929380650 hectares = surface du globe terrestre ,

et log ^ = 1 1 ,80387 84078 ;

ou bien , en employant la division nonagésimale du quadrant,

*°8 gT^ô = ".8496358984,

ou enfin, en substituant à ces logarithmes ceux qui résulteraient des valeurs des demi-axes de la Terre que nous avons obtenues (art. 181).

Ainsi, pour avoir 1 aire d un grand triangle sphérique, au logarithme de l’excès de ses trois angles sur deux angles droits, exprimé en grades ou en parties de grade, on ajoutera le logarithme constant