LIVRE TROISIÈME

1 1,80387 84078, et la somme sera le logarithme de l’aire, du triangle évaluée en mètres carrés. On voit par là avec quelle promptitude on obtiendra l’aire d’un polygone sphérique décomposé en triangles dont les angles sont connus.

Mais lorsque tous les points d’un réseau trigonométrique sont donnés par leurs distances à une méridienne et à sa perpendiculaire (art. 164), la surface d’un grand état se décompose en trapèzes sphériques, dans chacun desquels on connaît les trois côtés qui sont perpendiculaires entre eux.

Pour exemple, supposons que les côtés b, c qui comprennent l’angle A ( Jig . i3) soient prolongés jusqu’à ce que les arcs Aa, B/5 soient égaux chacun an quart de la circonférence; alors les angles a, /S seront droits, et l’aire du triangle isoscèle Aa/3 qui, en général, — A -t- a 4-/3 — a1-', deviendra=A. L’aire du trapeze sphérique ajSBC, ou Aa/3 — ABC , sera donc = aQ — B — C.

Mais, par les analogies de Néper , démontrées à l’art. 64, on a

tang \ (B C) = cot^A

cos 7 (b — c ) #

cos | ( b -h c) 7

donc si l’on désigne par 2 l’aire du quadrilatère sphérique dont il s’agit, on aura

tang - = cot

ensuite

lang- =

COS 7 ( b -h c ) cos 7 (b — c)

tang \ A ;

et si l’on dénote par jry y> \es deux côtés B/3, Ca du quadrilatère, perpendiculaires à la base a/3 = A, en sorte que jr — 1 q — b, y' — — c , on aura, pour la détermination de l’aire 2, la formule

Cette formule, que nous venons de démontrer d’après Lagrange ( Trigonom. s cher. , pag. 276 , vie cahier du Journal de l'École Poly- I. 53

technique) j est très-utile pour mesurer les surfaces sphériques terminées par des arcs de grand cercle ; pour en faire usage , il faudra évaluer l’amplitude de chacun des arcs y, y' donnés en mètres ou en toises, ainsi que celle de l’arc de méridien A = x' — x (art. 196). De cette manière, l’aire 2 sera donnée en grades ou en degrés; et on l’évaluera en mètres carrés, en procédant comme il a été dit à l’art. 89. En voici un exemple.

Les coordonnées rectangles des extrémités du côté Chapelle-la- Reine B ois commun , calculées par Delambre , et rapportées à la méridienne et à la perpendiculaire de Dunkerque , sont Pour Chapelle-la-Reine ,

x = i55i94l,2, y = — 73io*, 3;

pour Boiscommun ,

011 demande l’aire comprise entre ce côté de l’un des triangles de la méridienne, la différence x' — x des abscisses et les deux ordonnées y y y' , en la considérant comme étant celle d’un quadrilatère sphérique.

Faisons le rayon de la sphère p = D = 57020* (art. 149), et

R° = A, 7 ~1'7- R° = m, 7-—ll Ro = n p P P

R° désignant le rayon exprimé en degrés (art. 101); ou bien, pour employer les tables décimales et avoir l’aire cherchée en hectares,

substituons à R° ce rayon exprimé en grades , auquel cas .

log R° = 1 . 8o388o 1 ; il viendra, à cause de log p = 6.5i4i498 en toises ,

logiA = 9. 1892636; log|TO = 8.8711224; log i « = 8 . 8333a66 ; d’où

{ m = oc,o743,23;