LIVRE TROISIÈME

sans constante, parce qu’elle est nulle lorsque H = o. Pour appliquer plus commodément les logarithmes ordinaires à cette expression, soit e sin H = sinip; on aura, en faisant attention qu’il faut convertir , dans le second membre , le logarithme ordinaire du facteur du second terme en logarithme hyperbolique ou népérien ,

p, étant le module o, 434^^4 (art. 107).

Il résulte de là que l’aire entière de l’ellipsoïde a pour expression

a2= 2nb 1 [r= ■? + s? log (r=-*) ]

Mais , pour retrouver la série précédente , on remarquera d’abord qu’à cause de

v p*h% r * . 1 r dz |

on a

v pnb2 / sinH Ç rfH cosH \

\ i — e* sin ’H J i — e* sin *H/

valeur qui, d’après l’art. 170, peut être mise sous cette forme :

„ p*b* fw , N/ sin H , (* ^ H cos H \

1 ^ nJ \i+«C0S2H J I +«COS2H/

Or, en développant en série chacun des termes du second membre , puis faisant les transformations qui se présentent d’ elles-mêmes , pour n’avoir que des cosinus linéaires, et intégrant, on retombera définitivement sur la série (i ).

Il suit de là qu’en désignant par H et H' les latitudes de deux parallèles, et par p, p' les longitudes de deux méridiens, l’aire 2(l) du quadrilatère compris entre ces lignes sera, en faisant d ailleurs

4a6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

sin 9 cos$ — \m (2 + m) sin 3? cos 3<P -4- \m2 (3 *4~ 2w) sin 5^ cos 5$ — (4 -f- 3/w) sin 79 cos 7$

série dont le terme général est évidemment

± nab | - »** 1 [*+(*— i)m']sin(2t— i)<p cos(2t— i)<I> j ;

le signe supérieur ayant lieu lorsque i, qui est le nombre des termes , est impair, et le signe inférieur devant être pins dans le cas contraire. On a par là le moyen de calculer, avec une extrême facilité , l’aire de l’étendue d’un pays dont on a construit la carte à l’aide des latitudes et des longitudes. Par exemple, on peut embrasser dans un seul calcul la plus grande portion de cette étendue comprise entre deux méridiens et deux parallèles; ensuite évaluer, d’après des mesures prises sur l’échelle de la carte , les rapports que les parties du terrain figuré dans les quadrilatères partiels ont avec ces mêmes quadrilatères dont les surfaces s’exprimeront en mesures carrées , à l’aide de la formule précédente (*).

211. La recherche de diverses expressions du volume d’un segment de sphéroïde terrestre , compris sous des bases parallèles au plan de l’équateur, ne saurait offrir aucune difficulté d’après ce qui précède. Par exemple , si o et H sont les latitudes de ces bases , le volume Y de ce segment sera donné par la formule suivante , qui est rigoureuse , à savoir :

\ = nfx’‘dr = nb’p'!>inH.(i-Lt sin‘H \ r \ 3 a-, — e«sin>H )

= iréap' sinH. ^1 — IÇ.

(*) Voyez, pour l’expression de l’aire d’un ellipsoïde à trois axes, les Exercices de Calcul intégral par Legendre, ire partie, page 182.