LIVRE TROISIÈME

Au surplus, il est très-rare qu’on ne puisse pas prendre dans ce cas l’arc pour la corde.

Supposons maintenant D > D'; le triangle ABC (Jig. 46 bis) donnera

sin D : R : : sin D' : R -H d E ;

par conséquent

et par suite, en procédant comme ci-dessus, ou, ce qui est plus simple, en changeant dans le résultat précédent D en D' et vice versâ , puis suppQsant qu’on nivelle en allant de A en B,

ou

rfE=(K'~4sO

sin -j- ( D ' — D ) cos ^ ( D — D ' -f- C ) ’

sin D ' — D ) cos | ( D — D ' -h C ) ’

Si l’on compare cette valeur à la précédente ( i) , on reconnaîtra que celle-ci est négative et que l’autre est positive , mais que dans le dénominateur, la différence D' — D doit toujours être prise positivement, lorsque l’on emploie pour K la distance des deux stations réduite au point le plus bas. Or, par le calcul d’un réseau trigonoinétrique , R est nécessairement réduit au niveau de la mer (art. 141), et est alors représenté par ab'. Ainsi la différence de niveau BB' = r/E, obtenue à l’aide de R = ab'i est un peu trop petite , puisqu’elle devrait l’être au moyen de AB'; mais dans la pratique on peut, sans inconvénient, faire abstraction de la très-petite différence des deux cordes ab' , AB', à moins que les stations ne soient très-élevées (art. 236).

Afin de comprendre ces deux formules dans une seule , et de les assujettir à l’hypothèse précédente, nous écrirons

dE =

Ksin-i(D' — p) cos \ ( D7 D -f- C) ,

ou bien d E =

Ksin-i(r — 3) cos|(3'oo^-+-C)‘

La réfraction ne modifie en rien ce résultat, puisque, d’après ce qui a été dit à l’art. 214, on peut presque toujours supposer 0 = 0' : il en

serait évidemment de même si les distances zénithales réciproques â, étaient affectées chacune de la même erreur. On entendra par le signe oo, que la différence e?' oo â qui entre au dénominateur, doit toujours être considérée comme positive et s’ajouter à l’angle C. Ainsi, le signe de ci E, qui dépend uniquement de celui du numérateur sin 1 (à' — â), sera positif ou négatif selon que l’angle à' - <$ sera lui-même positif ou négatif.

La formule (i) ou (2) , qui est rigoureuse , conserve ce caractère en développant le dénominateur et en faisant attention que 2R sin1 C=K , et que R est la normale N de l’une des stations (art. 170). Cette opération très-facile donne en effet

(t) aRtangjrCtangjfj'— 3+0' — Q)

; * — tangi.Ctang-i(<r— S-h9' — Q)J

et c est encore ce que l’on trouve en appliquant au triangle hypsométrique le théorème démontré art. 49. Au surplus, à moins que la distance des objets mis en comparaison ne soit très-grande, ce qu’il faut éviter, cette dernière formule, en y supposant# = #', peut se réduire à celle-ci :

(4') dE = aRtangiC tang A (&’—#) - tang A (&’-&),

laquelle est fort usitée. Si l’on en chasse l’angle des verticales moyen de cette relation

G = o' -f- ov -h # 4- — aQ = 0' -4- ov 4- /*c -f- n'C — 2%

qui donne

au

on aura définitivement , avec une approximation suffisante ,

(5) àE = tang A (*; jj.

C’est à l’aide de cette nouvelle formule qu’on déterminerait assez bien ,

dans une exploration géographique , la différence de niveau de deux points éloignés l’un de l’autre sans connaître leur distance , en supposant cependant que les coefficients n , ri des réfractions locales fussent déduites théoriquement d’observations barométriques et thermométriques contemporaines de celles des distances zénithales. Autrement l’on serait obligé de faire n= ri = 0,08, et alors la différence de niveau laisserait encore plus d’incertitude sur sa véritable valeur; car il faut bien faire attention que la substitution du diamètre de la Terre et du complément de la demi-somme des distances zénithales à la place de l’arc de distance K qui est censé inconnu, produit quelquefois une erreur considérable sur^/E, puisqu’elle serait, par exemple, d’un 70e si l’on déterminait , par les seules distances zénithales apparentes et les coefficients de la réfraction, rapportés art. 216 et 217, la hauteur du Puy-de-Dome au-dessus de la préfecture de Clermont-Ferrand. E11 effet la formule (5) donnerait <YE = io48m, tandis qu’on a exactement io63m par la formule (4' ), qui est explicitement fonction de la distance K.

219. Si l’une des distances zénithales et la différence de niveau d\L étaient connues, et qu’il fallut avoir l’autre distance zénithale, pour réduire à l’horizon un angle observé entre deux objets inégalement élevés, la formule (4) donnerait sur-le-champ

cosi C

tangi(<f'0v)=^ - ;