DEUXIÈME HYPOTHÈSE

La Terre étant un ellipsoïde de révolution.

229. On pourrait craindre que les conséquences déduites de îa théorie précédente, dans laquelle nous avons fait abstraction de la figure ellipsoïdale de la Terre, ne fussent pas assez exactes dans la pratique. Pour dissiper tous les doutes à cet égard, nous allons envisager la question sous son véritable point de vue.

En considérant la Terre comme un ellipsoïde de révolution , la différence de niveau de deux points, l’un étant sur sa surface, est mesurée par la longueur de la perpendiculaire abaissée de l’autre point sur cette surface. Parles opérations géodésiques , on obtient leur plus courte distance au niveau des mers, ainsi que leurs positions géographiques : alors la corde de cette plus courte distance et la hauteur cherchée sont les deux côtés d’un triangle rectiligne donné de position , et dans lequel on peut connaître en outre, par l’observation , l’angle que le troisième côté fait avec la hauteur ou la verticale dont il s’agit. Relativement à la sphère, ce triangle serait invariable, toutes choses égales d’ailleurs, quelque part qu’il fût situé et quelque direction qu’il eût; mais il n’en est pas de même à l’égard du sphéroïde.

230. Il résulte de la théorie exposée à l’art. 167, que si M et M

( Jig . 4°) sont ^es extrémités d’une ligne géodésique R ayant pour latitudes H, H', et que p , p' soient les longueurs des normales MN, M'N' comprises entre ces points et ceux oû elles rencontrent l’axe de rotation , l’on a

( 1 — e * sin 1 H ) *

( 1 — e 1 sin * H ) 3

Nous avons vu en outre à l’art. 189 , que la différence de ces deux normales est du second ordre. Cherchons, par un procédé analogue , la différence de la normale p du point M à l’oblique M'N = pt du point M', parce qu elle nous sera utile.

D’abord, en vertu du triangle NM'N', et de ce que l'angle

NM'N' = on a

p'cosH' p-

cos ( H ' -(- i|> j cos^(i — tang^itangH')

= p'séc <Jr(i 4- tang ^ tang H' 4- . . . );

ou , à cause de la petitesse de <j/ ,

pt = p' (i -f- tang tang H")

= fl [(ï 4- ie2 sin3 H'4-|e4 sin4 H'. . .)](i4- tang ^ tang H') T on encore

| i 4- e2 sin2 II' 4- fe4 sin4 H' 4- tang <|i tang H') J

a 1 4- je3 sin2 H' tang ^ tang H' (

D’un autre côté , le théorème de Maclaurin donne

f=/(AH) = p'+(^)AH + (^)^+...;

et puisque

p = a [i 4-|casin2 Ü4-|e4 sin 4 H 4- , . .], on a **

= a [e2 sin H' cos H' 4- fe4 sin3 H' cos H'],

= a [e2 cos2 H' — e2sin2 H'];

par suite,

p = a[ i 4-ie2sin2H'4-fe4sin4H'...]