LIVRE TROISIÈME

La valeur moyenne du coefficient n de la réfraction étant seulement de 0,08 environ, il s’ensuit que le deuxième et le troisième terme de cette valeur se détruisent sensiblement ; ainsi l’on a seulement

iMang2

(<î — IOO*)

et si l’on mettait p au lieu de pn l’on ne négligerait encore que des quantités absolument insensibles dans la pratique.

Le cas où le lieu de l’observation est au sud , c’est-à-dire en M' {fig. 53), se traite de la même manière. Soit alors â' la distance zénithale observée; l’angle auxiliaire MM'V, sera + 0, et la hauteur cherchée N sera A'M' ou A"M'. De plus le triangle MM' N donnera

, cos C p( I — cos C)

cosC

= — »~n/Sm T° . -b ^ = 2/5 tang2|G j u

cosHC(i— tang^C) r r ° 2 n

= £tang2 C + fx;

et comme <?, + 0 = ioo* + G, ou o\ -h nC = 100-+- G, d’où

5, — ioo 3' — ioo — «p

il s’ensuit que

ptang1^' — ioo— q>) . .. , . tang* (S' — î oo)

^ 2 ( i — nÿ P (i — n )*

tang (Sf— ioo)

-P tang y ^ + fx,

ou seulement

E = - p tang? tang (<?'-ioo) + fi.

Mais la petitesse de l’angle C permet de faire

p tang 9 tang(<^' — ioo) = p tang 9 tangC = 2/5 sin^C tang 9 = K tang 41 cos z ' = 2 fx ;

48o TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

ainsi définitivement

P tang2 (8' — ioog) 2 (i — ny

formule qui est la même que la précédente , parce que la différence de p à p, peut, comme nous l’avons déjà dit , être considérée comme nulle.

A la rigueur, les distances zénithales apparentes â, â', prises au même moment au point M , l’une vers le sud , l’autre vers le nord, ne doivent pas, en général , être les mêmes sur le sphéroïde ; mais leur différence est si petite quelle échappe nécessairement aux observations: ainsi les termes du quatrième ordre, rejetés des formules ( 1 3) et( 1 3'), et de toutes celles qui précèdent, sont très-inutiles.

233. Il résulte de cette analyse, i° que les formules pour calculer les différences de niveau sur le sphéroïde de révolution, sont les mêmes dans tous les sens du nivellement; 2° que ces formules ne renferment plus les termes dépendants de l’aplatissement de la Terre, si l’on y introduit deux distances zénithales réciproques ; ou bien si , en ne faisant usage que d’une seule distance, on opère dans le sens des parallèles; 3° enfin, que la correction d’aplatissement, lorsqu’elle paraît nécessaire , étant presque toujours au-dessous des erreurs des observations , le nivellement trigonométrique peut , dans tous* les cas , être considéré comme ayant lieu sur une sphère dont le rayon est égal à la normale comprise entre le point d’où l’on observe et l’axe de rotation de la Terre.

11 paraîtrait cependant convenable d’introduire dans les formules précédentes , au lieu de la normale dont il s’agit , le rayon de courbure de la ligne géodésique K obtenu à l’art. 187. Si l’on prenait ce parti , on aurait

LC = K(pWZ + PsipiZ) K. __ K(p' — p) . a