LIVRE TROISIÈME

qu’on aura généralement

dE -+- dE , -t- • . • -f- dA H- dA' -4- Ainsi l’équation de condition /E = o deviendra (E — </E)-+-(E' — dE') + ... — ( A -+- </A) — ( A' r/A') — . . . = 0.

Les corrections partielles dEy...y dAy...y étant de signes contraires et arbitraires, il semble à propos de leur donner des valeurs absolues proportionnelles aux bases R, R', R",... qui ont servi à déterminer les différences de niveau correspondantes; puisque les erreurs de ces différences, en tant qu’elles ne dépendent que de celles des mesures angulaires, sont proportionnelles à ces dernières multipliées par ces mêmes bases. Partant donc de cette hypothèse, on aura en général

dE ou dA = - - — - — ;

et par suite les hauteurs absolues des stations seront dégagées de l’erreur £ du nivellement.

Nous supposons toutefois, dans ce mode de correction, que le nombre des observations de distances zénithales est le même poui chaque différence de niveau , et que l’état moyen de l’atmosphère n‘a pas varié pendant les observations réciproques; dans le cas contraire , il faut considérer les d E,..., dA , — comme composés de deux parties X , 7 , l’une produite par les erreurs commises sur les distances zénithales à', 1 autre par la non-simultanéité des observations réciproques. Or il n est pas difficile de voir que, dans ce cas général , X et y seront respectivement proportionnelles à R et R2, et que si l’on accorde aux valeurs de X une confiance d’autant plus grande que le nombre des observations auxquelles elles sont dues est plus considérable, c’està-dire si on les suppose en raison inverse des nombres d’observations h i'y qui leur correspondent, on aura

dE = X -+- 7,

d E'=X'-t-7', '/E " = X"4-yV.

x" > iK

et de là

[' + ÏT> <

La chaîne de triangles procurera nécessairement deux équations de cette forme ; et si elles ne sont pas identiques , elles serviront à faire connaître X et 7 : autrement on attribuera à ces inconnues la même influence sur l’erreur totale e , ou l’on fera

De l’une ou l’autre manière, les corrections partielles X, 7, X', 7',..., et par suite d E , d E', . . . , seront déterminées.

Tel est le procédé élémentaire qui me paraît le plus naturel et le plus commode pour répartir avantageusement l’erreur connue d’un nivellement trigonométrique , laquelle est presque toujours fort petite quand ce nivellement est effectué avec tous les soins convenables. Faute d’un moyen direct de vérification pareil à celui dont il vient d’ètre question, ce n’est que par la savante méthode que Laplace a exposée dans le troisième Supplément à sa Théorie analytique des Probabilités , qu’il sera possible de déterminer les limites de l’erreur dont il s’agit, et d’obtenir les corrections les plus avantageuses. Faisons donc encore ici une application des formules qui s’en déduisent.

Recherche de l'erreur moyenne probable d'un nivellement.

D’abord, partons de ce principe fondamental et connu, savoir : Si ce est le résultat moyen d’un grand nombre de valeurs particulières provenant de la mesure réitérée d’une même quantité, et que a', a",..., soient les écarts de ces w valeurs de part et d’autre de la moyenne .r,

1 erreur ox de ce résultat, dont la probabilité est y, aura pour expression

dx = ±. °’^p— Va(a'a4 ....4- a(*)a) :

c’est ce qu’on nomme 1 erreur moyenne. En donnant à cette expression

la forme