LIVRE DEUXIÈME

à cause de x — b cos A. Il résulte de là que le carré d un des cotés d’un triangle rectiligne quelconque est égal à la somme des carrés des deux autres côtés , diminuée du double produit de ces mêmes cotes multiplié par le cosinus de l’angle qu’ils forment entre eux , en supposant toutefois le rayon des tables égal à l’unité et l’angle A aigu.

Les trois équations cherchées sont donc

a2 = b2 + c2 — ibc cos A , \

b2 = a2 c2 — 2 ac cos B , > (A)

c2 = a2 -+- b2 — 2 ab cos C; )

ainsi, lorsque parmi les six parties d’un triangle trois seront connues,

savoir les trois côtés , ou deux côtés et un angle , ou bien deux angles et un côté, on pourra déterminer les trois autres parties.

Lorsque le triangle ABC est rectangle , ces équations se simplifient beaucoup; en effet, soit A = iQ, on aura cos A = o, et partant

a* = i8 + cJ, \

c — a cos B = o , > (B) b — a cos C = o. )

On retombe donc sur les deux théorèmes desquels on est parti , ce qui doit être; mais alors cos B = sin C. Ainsi de ces deux dernières équations l’on tire

sin C = - , cos L = - ;

ensuite en divisant l’une par l’autre, tangC =

donc , dans un triangle rectangle , i° le sinus d’un des angles aigus est égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse ;

2°. La tangente et un de ces mêmes angles aigus est égale au côté opposé divisé par le côté adjacent.

D’ailleurs, à cause de sin C = - et sin B = - , on a

sin B b . T1 f\ . . j .

= , ou sin B sin C . . b \ c:

sin C c 7 7

ainsi , dans tout triangle rectangle , les sinus des angles aigus sont proportionnels aux côtés opposés à ces angles.

De la relation c = a cos B , on tire

mais i — cos B = a sin2 \ a

On a aussi

- c = a (i — cos B) ; B; donc

— c = %a sin2 £ B.

— cos B) sin B

sin B;

et à cause de

i — cos B sin B

= tang j B, il en résulte que

a — c = b tang \ B ;

donc l’excès de L’hypoténuse sur un des côtés de l’angle droit est égal au double du produit de cette ligne par le carré du sinus de la moitié de l'angle aigu adjacent à ce côté, ou bien est égal au produit d’un des côtés de l’angle droit par la tangente de la moitié de l’angle opposé.