LIVRE DEUXIÈME

cos A sa valeur i — 2 sina A, et alors il vient

a2 = (b — c)2 4/?c sina \ A

La fraction pouvant en général être plus grande que le carré

de l’unité, supposons-la égale à tang2 0; dans ce cas on a

a = {b-c)[ 1 -t- tang2 $]* =

1 outefois, la solution numérique ne sera rigoureusement exacte que lorsque la différence b — c sera grande; si cette différence au contraire était très-petite, il faudrait substituer d^ns l’équation fondamentale, pour cos A sa valeur 2 cos2 \ A — 1, parce qu’il viendrait

4 bc cosa| Al

mais dans cette circonstance on doit avoir ' < 1, sans quoi la

racine de a serait imaginaire; nous pouvons donc supposer

ainsi

4 bc 00s1 7 A

sin2 0;

a — (b c) cos 0.

48. Pour trouver d’autres formules qui conviennent aux différents cas des triangles obliquangles , tirons d’abord de la première relation (A), cette valeur

cos A =

IFc ’

et substituons-la dans l'équation sin2 A = 1 — cos2 A; il viendra, après les opérations convenables,

2a*b 1 2«ac* -f- îb2c*

d’où l’on tirera, après avoir extrait la racine carrée de part et d’autre, et multiplié le second membre haut et bas par a ,

. 4 t/faa**1 -h a***1 — — e*).

sm A = fl X - ~bc - ’

mais si, pour abréger, Ton désigne par M toute la fraction qui multiplie a , on aura

sin A = aM;

or, la quantité M étant une fonction symétrique des trois côtés du triangle, et par conséquent invariable, on en conclura pareillement

donc

sinB = ôM, sin G = cM;

sin A a

sin B b 1

ou sin A : sin B : : a : b ;

donc enfin, dans tout triangle rectiligne , les sinus des angles sont proportionnels aux côtés opposés.