LIVRE DEUXIÈME
De la même proportion ci-dessus , l’on tire sur-le-champ cette autre
sin A 4- sin B : sin A — sin B : : a-\-b\ a — b ,
d’où
a b sin A H- sin B .
a — b sin A — sinB’
mais, par le tableau des fonctions circulaires (art. 45), on a
sin A + sin B tang7(A4- B) .
sin A — sin B tang|(A — B)
ainsi
a -{-b tang 7 (A -h B)
a — b tang -j- (Â — B) ’
OU
Cl 4- b : a — b : : tang |(A4- B) : tang|(A — B) ; et en langage ordinaire :
La somme de deux côtés quelconques cT un triangle rectiligne est à leur différence , comme la tangente de la demi-somme des angles opposés à ces mêmes côtés est à la tangente de leur demi-dijjérence.
De la on tire, a cause de - = V - »
Cette formule se rapporte, comme la précédente, au cas où Ton connaît deux côtés a , b et l’angle compris C ; c’est-à-dire qu’elle donne le moyen de trouver la demi-différence des deux angles inconnus A , B : et comme on a d’avance leur demi-somme, puisque \ (A 4- B) = iQ if U, on a tout ce qu’il faut pour déterminer ces angles; en effet
A -4- B A — B le plus grand angle = - - - »
le plus petit angle = — - — 2 •
Si les deux côtés a, b sont connus par leurs logarithmes, ai |
arrive fréquemment dans la pratique , on pourra se dispenser de chercher les deux nombres correspondants pour calculer la formule précédente: voici alors comment il faudra opérer.
On considérera a , b comme les côtés d’un triangle rectangle , et en désignant par 9 l’angle opposé au côté a , on aura
tang<P =V
cet angle sera plus grand qu’un demi-quadrant, puisque l’on suppose a>b , et voilà pourquoi nous égalons à une tangente la quantité fractionnaire j-, donc, à cause de tang (9 — 5o*)= tan& ?~tang et de 0 0 / , l tang <p tang 5o*
tang 5o* = 1, on aura
tang (9 - 5o*') = mais , par ce qui précède ,
a -h b cot|C ’
donc
tang (^~) = cot i G tang (9 - 5o*) y formule qui donnera de même la valeur de 50. Maintenant si dans l’équation
cos A =
b1 -\-c* — a 2 ibc
qui fait connaître un angle au moyen des trois côtés, Fou met, au lieu de cos A, sa valeur 1 — 2 sin2| A , on aura , en changeant les signes de tous les termes, et en laissant seulement sin2^A dans le premier membre ,
a* — b * — c2 ibc
4 Te "
