LIVRE DEUXIÈME

Le numérateur du second membre étant le produit des deux facteurs (a -4- b — c), [a — b c), on donnera à cette équation la forme

si donc on désigne a-\- b c par ap, on aura , après avoir extrait la racine carrée ,

smiA= y/SESIZEZ),

formule qui peut être calculée facilement par les logarithmes , et qui donne très-promptement un angle d’un triangle dont 011 connaît les trois côtés. Si l’on y restitue l’homogénéité , et qu’on l’énonce en proportion, il en résultera que dans tout triangle rectiligne , le produit de deux côtés quelconques est au produit des différences de ces mêmes côtés au demi- périmètre , comme le carré du rayon des tables est au carré du sinus de la moitié de l’angle que ces côtés comprennent.

On peut exprimer d’une manière analogue le cosinus et la tangente de |A : en effet, puisque 1 -4- cos A = 2 cosa^A, on aura, en mettant ici pour cos A sa valeur en fonction des trois côtés,

b 2 +cJ — a

abc

- = 2 cos2 \ A ,

d’où

cos2 i-A — •

cos 2 A— ^bc ,

puis procédant comme ci-dessus, il viendra

et à cause de = tang^- A, il s’ensuit que l’on aura

51. S’il était nécessaire de connaître les segments formés par la perpendiculaire CD du triangle ABC (Jig. 12), on y parviendrait de la manière suivante:

De la formule primitivement obtenue (art. 47), savoir, a2 = b2 -\-c2 — 2 ex ,

et qui peut s’écrire ainsi

(a b) ( a— b) = c(c — ix) , on tire cette proportion facile à graver dans la mémoire, c:a-\- b y. a — b\c — ix.

C’est-a-dire que quand la perpendiculaire CD tombe dans l’intérieur du triangle , la base ou la somme des deux segments est à la somme des deux autres côtés, comme la différence de ces mêmes côtés est à la différence des segments.

Soit donc d cette dernière différence; on aura

le plus grand segment = ° le plus petit segment = .

52. On s’assure bien aisément, par l’analyse, que la seule connaissance des trois angles d’un triangle rectiligne ne suffit pas pour en déterminer les côtés; car si dans les trois équations (A) Ton considère a,b, c comme les inconnues du problème, et que Ton ajoute la première équation à la seconde, la première à la troisième , et la seconde à cette dernière; ensuite que Ton divise respectivement ces trois sommes