LIVRE DEUXIEME

par sc, ib , aa, on aura les équations suivantes du premier degié .

c — b cos A — a cos B

b — c cos A — a cos C

a — c cos B — b cos C

Mais parce que celles-ci ne renferment aucun terme tout connu , les valeurs de a, 6, c qu’elles fourniraient seraient nécessairement indéterminées; et l’on aurait pour le dénominateur commun de ces valeurs

i — cos2 A — cos2 B — cos2 G — 2Cos A cos B cos C = o :

c’est en même temps la relation qui doit exister entre les trois angles d’un triangle rectiligne, pour que leur somme soit égale à deux droits.

( Application de l’Algèbre à la Géométrie , par M. Lacroix, p. i4 1 •)

. DIVERSES EXPRESSIONS DE l’aIRE d’üN TRIANGLE RECTILIGNE.

53. Soit S l’aire du triangle rectiligne ABC (Jig. i a) , et y sa hauteur;

g AB X CD cx.

mais^ —b sin A ; donc

S = ±bc sin A. (i)

D’ailleurs , à cause de sin C : sin B : : c : b. on a b— 5sin? , et

7 sinC

„ c* sin A sin B / x

2 sin(A-bB)* ^ '

Telles sont les deux formules qui donnent l’aire d’un triangle rectiligne, connaissant deux côtés et l’angle compris, ou bien un côté et les deux angles adjacents. D’un autre côté , à cause de

a 2 : b2 ; c2 ; : sin2 A : sin2 B : sin2 (A -H B) ,

on a cette autre proportion

a2 — b2 ; c2 ", I sin2 A — sin2 B sin2 (A -+- B) ;

ainsi, en définitive, la valeur précédente de S devient, en y mettant

celle de c 2 tirée de cette dernière proportion,

^ a1 — b 2 sin A sin B #

“ 2' * sin(A —B) ’ W

expression qui se présente sous la forme £ lorsque a = b; mais alors l’équation (a) donne

S = ^tangA-

11 est utile en outre d’avoir la valeur de S en fonction des trois cotés: or, si dans la formule (1) l’on met d’abord pour sin A sa valeur 2 sin { A cos { A , on aura

S = bc sin { A cos^ A.

Ensuite, si pour sin^A et cos^A on substitue leurs valeurs trouvées à 1 art. 50, on obtiendra sur-le-champ

s = v P ( p'-à)Çp-b)~{p-c). (4)

De cette derniefe expression de S ressort naturellement la vérité de ce théorème, savoir : Entre tous les triangles isopérimètres et de même hase, le triangle isos cèle est le plus grand.

En effet la somme des deux facteurs variables et inégaux p — a p — b étant constamment égale à c pris pour base, leur produit sera toujours moindre que le carré de la moitié de cette ligne; si donc « = b , le triangle sera isoscèle et sa surface un maximum.

I ous les théorèmes précédents peuvent sans doute se déduire de la simple Géométrie, et plusieurs même dérivent de constructions fort < légantes, aussi n avons-nous adopté dans cette circonstance la méthode analytique qu’à cause de sa fécondité, et que parce qu’elle fournit de la manière la plus simple toutes les formules trigonométriques connues. M