DE LA TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE

Théorème fondamental .

54. Les principes pour la résolution des triangles sphériques dérivent d’une seule équation que l’on déduit naturellement d’une propriété des triangles rectilignes, représentée par l’une des équations ( A' (art. 47). W

Soient ( Jig . 1 3) AD la tangente et OD la sécante de l'arc AB ;

Soient de même AE la tangente et OE la sécante de l’arc AC.

Si 1 on désigne, comme à l’ordinaire, par A, B, C les angles, et par a, b, c les côtés opposés dii triangle sphérique ABC construit sur la surface d’une sphère du rayon i, et dont le centre est en O, le triangle rectiligne A DE donnera, en faisant DE == x ,

jc* = tang2 b -4- tang2 c — 2 tang b tang c cos A ;

le triangle ODE donnera de meme

Je 2 = séc2 b -4- séc2 c — 2 séc b séc c cos a :

soustrayant de cette équation la première, et faisant attention que séc2 b — tang2 b = 1 , on aura, réduction faite,

, sin b sin c . cos a

1 H - j - cos A - , - = o ,

cos b cos c cos b cos r 7

et par conséquent après avoir chassé le dénominateur,

cos a = cos b cos c -4- sin b sin c cos A.

Telle est l’équation fondamentale qu’il fallait trouver, et qui ferait connaître le troisième côté d’un triangle sphérique, si les deux autres côtés et l’angle qu’ils comprennent étaient donnés: elle est facile à retenir. La démonstration que nous venons d’en donner est due à De Gua , qui l’a publiée dans les Mémoires de V Académie des Sciences (année 1783). Lagrange et d’autres géomètres célèbres l’ont depuis adoptée dans leurs Traités de Trigonométrie : on en verra une nouvelle dans le livre IV, au chapitre des parallaxes.

Une simple permutation de lettres fournit deux autres équations toutes pareilles ; ainsi Ton a

cos a = cos b cosc -4- sin b sine

cos 6 = cos a cos c -4- sin a sine

cos e = cos a cos b -4- sin a sin h

cos A , \ cos B , v (a), cos C. ;

Il ne s’agit plus que de combiner convenablement ces trois équations , pour parvenir aux relations qui offrent le moyen de résoudre tous les cas possibles des triangles sphériques.

55. Si de la première équation Ton tire la valeur de cos A , et qu’on l’introduise dans la relation sin2A = 1 — cos2A , on aura

sin2 A =

cos2 a H- cos2 b cos2 c — acos a cos b cos c sin2 b sin2 c

réduisant les termes du second membre au même dénominateur, multipliant haut et bas par sin2« et extrayant la racine , on obtiendra

sin A = sin a.

yj ( 1 — cos2 a — cos2 b — cos2 c -f- 2 cos a cos b cos c) #

sin a sin b sin c

désignant par M toute la fraction qui multiplie sin a , on pourra écrire plus simplement

sin A = M sin

et puisque M est une fonction symétrique ou invariable, quel que soit l’angle dont on cherche le sinus , .il est évident que Ton aura

pareillement