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Tuis divisant la quatrième par la troisième, et la deuxième par la première , on a

tangi(a+é) = tang|C^+*j,

. 7, . sin-i-fA — B)

tang {{a -b) = tang^c^-^-

Telles sont les quatre analogies de Néper. Les deux premières servent à trouver deux angles d’un triangle sphérique dans lequel on connaît les deux côtés opposés et l’angle compris; en effet, l’on a

le plus grand angle A= ~ + et

le plus petit angle B = ^

Les deux autres analogies s’emploient pour trouver deux côtés lorsqu’on a deux angles et le côté adjacent.

On arrive à ces formules , aux deux premières par exemple , par une méthode plus simple, ainsi qu’il suit.

Il est d’abord à remarquer que, d’après l’art 45 ,

tang-KA + B)

sin A -h sin B cosA-j-cosB ’

et tang! (A — B) =

sin A — sin B cosA-f-cosB’

ainsi il ne s’agit que de rendre les seconds membres de ces égalités fonctions de a , b et c. Or, si entre les première et troisième équations (a) Ton élimine cose, il viendra cette relation entre cinq parties d’un triangle ,

cos A sine -+- cos C sin a cos b = cosasinô ;

par conséquent, changeant A en B et a en ô, on aura

cos A sin c = cos a sin b — cosC sin a cos b , cos B sine = cos b sina — cosC sin b cos a,