LIVRE DEUXIÈME
et ajoutant ces deux équations, il en résultera, réduction laite,
sin c (cos A -+- cos B) = ( i — cos C ) sin (a -+- b) . (m)
D’un autre côté, par la règle des quatre sinus (art. 55) , on a
sine sin A = sinasinC, sine sin B = sin b sinC;
ajoutant et soustrayant ces deux équations , il vient
sine (sin A -P sin B) = sin G (sin a -+- sin b) , sine (sin A — sin B) = sinC (sin a — sin 5);
divisant successivement celles-ci par la précédente (m) , on a
sinA-hsinB sinC ^sina + sini^
cosA-+-cosB i — cosC \ sin(a-f- b) J ’
sin A — sin B sinC /sin a — sinè\
cosA + cosB i — cosC \sin(a — b ) /’
enfin transformant ces valeurs à l’aide des relations de l’art. 45 , on trouve comme ci-dessus ,
tangi (A + B) = cot* C ,
tang| (A - B) = cot± C ,
et de là cette propriété remarquable ,
tangj(AH-B) __ tarig| (a -+- b)m tang-i-(A — B) tangua — b)
65. Lorsqu’on n’a pour but que de déterminer un des angles inconnus, l’angle A par exemple, on l’obtient directement d< manière suivante :
y8 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Mettant dans la relation
cos A sine = cos a sin£ — cosC sin a cos£,
trouvée précédemment, pour sine sa valeur -~s*pS™C, on a de suite
cot A sinC = cot a sin b — cosC cos£, et par conséquent
cota sin b ,
cot A = — . - cotC cos 6.
sinC
Cette formule donne donc immédiatement l’angle A, au moyen de deux côtés connus et de l’angle qu’ils comprennent. Changeant A en B, a en b , et réciproquement , on a de même
. t> cot b sin a
coth = — — ; - cotC cos a.
smC
6(>. Les relations (y) nous ont procuré, par leurs combinaisons, plusieurs formules remarquables; on en déduit aisément encore d’autres: par exemple, en multipliant entre elles celles qui se trouvent sur la première ligne, puis prenant la racine carrée et doublant le produit , on a , en faisant d’ailleurs fl+6 + c = 2j,
a sin A A cos^A = sin A = «">(*—<»)«■»» Q]»
sin b sin c 1
or, en rapprochant cette valeur de sin A de celle de l’art. 55, on voit évidemment que
4 sin (j) sin (s — a) sin (s — b) sin [s — c)
= i — cos2 a — cos 2 b — cos2c -+- 2 cos a cos b cosc.
Il n’est pas plus difficile de reconnaître que les relations (y) et (y') donnent
• ' , * in • < sin(j — a) sin — b) sin (s — c)
sini A sin|B sin^C = — - - — W, : — £ — d
* sm« sin b sine >
et
