RA + B — C

sin { C cos 4 C [cos | (a + b) + cos -7(0 — 6)] cosÿacos^A sinC .

tang — (A -4— B s^nTa sin|£ H- coslacos|6cosC tapgÿa tangué + cos^

2 ' cosÿa cos-r b sin C sinC

Pour exprimer tang| (A-t-B — C) en fonction des trois côtés seulement, multiplions et divisons à la fois sa valeur précédente pai

4siny« sin^ô; il viendra, en faisant attention que ^sin^a cos|a=sin^,

tang-|(A + B — C)

4sinJ7a sin2 76 + sin a sin b cosC sin a sinè sinC

puis éliminons cosC au moyen de sa valeur (/3), et remplaçons 4sin2|a sin2-^ par le produit (i — cosa) (i — cosô); alors nous aurons

tang|(AH-B— G)

(i — cosa)(i — cosè) -4- cosc — cosacosè sin a sin b sin C i -h cos c — cosa — cos b sin a sin b sin G ’

expression dans laquelle il ne s'agit plus que de substituer à la place

de SinC sa valeur trouvée 4

sin a sin b

l’art. 55. Soit donc M toute la quantité radicale, on aura

- cosc — cos a — cos o

tang^(A-HB — C) = -

. . . , 1-hcosè — cosa — cosc

tang^A-t-C-B) = — M - »

. ~ . \ t -h cosa — cos b — cos<^

tang J (B -t- C - A) = - s - —

Ces formules élégantes, démontrées d’une toute autre manière par Legendre, ont servi à ce savant géomètre pour déterminer la position du pôle du cercle circonscrit à un triangle sphériquè [Géométrie , noteX). Soit, par exemple ( Jig . i4)> O le pôle du cercle qui passe par les sommets des angles du triangle sphérique ABC; les arcs de grand cercle AO , OB , OC seront égaux , et les perpendiculaires abaissées du point O sur chacun des côtés , les partagerpnt en deux parties égales. Si donc x désigne l’angle inconnu OAB, on aura , à cause des trois triangles isoscèles dont se compose le triangle proposé ,

angle ACO = A — x , angle BCO = B — x ,

et partant , ou bien

l’angle x pourra donc s’évaluer, si les trois côtés a, b, c sont connus. Quant à l’arc AO = R , on l’obtiendra par la formule

tapg-yc 4sinjflsinj£sinjç

tang R = — — — - m V oyez d’ailleurs la note citée.

(>7. On sait qu’un triangle sphérique est déterminé de grandeur, quand on connaît le rayon de la sphère à laquelle il appartient , ainsi que deux de ses côtés et l’angle qu’ils forment entre eux ; car par l’une des formules (a) l’on peut obtenir le troisième côté . Un triangle de cette espèce est aussi déterminé de grandeur, si, outre le rayon de la sphère, on connaît deux angles et le côté qui les joint. Cherchons les formules relatives à ce cas, et pour cet effet reprenons la relation

cos A sin c = cosa sin b — cosC sin a cos b.

On voit qu’en y mettant pour sin a et sin c leurs valeurs respectives

«nAàni ÜBÇïï^ eUe devient sin B ’ sin B ’

cos A sinC = cosa sin B — sin A CosC cos b ;

changeant A en B et a en b , et vice versa , on a pareillement

cosB sinC = cos b sinA — sin B cosC cos« ;

puis éliminant cos b entre ces deux équations, il vient pour la relation cherchée,

cos A = cos a sin B sin C — cos B cos C ;