I-COS« = - sinBsipC - 2 S

i cos a =

>s A -h cos (B — C )

= 2 cos^a;

mais en général

cos p -+- cos 7 = 2 cos

. ni — cos-f ( A + B + C) cos-j ( B -H C — A)

sm *« = - sin B sinC -

.. cos j(A + B — C ) cos 7 ( A + C B )

COsH«= — - shiBsinC ~

— cosÿ(A + B+ C) cos-j ( B -H C — A) tang 2 a cos -5- ( A -+- B — C ) cos-j (A + C — B ) ’

l’une de ces trois formules donnera un côté au moyen des trois angles; ainsi , par la première , on a

/ — ços4(A B -+- C)cosy(BH~C*~* -^-) sin ^ a = y : r sinBsinC

Si la quantité qui est sous le signe radical était négative , comme elle le paraît d’abord, il serait impossible de déterminer la valeur de sin ^ a : cette valeur est cependant toujours réelle , car en général sin (,r — iQ) = — cos a1; donc

sin(i±l±Ç I«) = coS(i±|+-C),

quantité qui est toujours positive , parce que A -4- B H- C étant nécessairement compris entre 2Q et 6% on a

— iQ > o et <

D’ailleurs le côté d’un triangle sphérique étant plus petit que la

84 TRAITÉ DE GÉODÉSTE.

somme des deux autres , ona, par la propriété du triangle polaire ,

2 e A < 2q B + 2q — C , d où - — -- - < Ie; angle dont le cosinus

est positif.

69. Nous pouvons maintenant tirer des conséquences semblables à celles des art. 55 et 66, savoir, que

sin 2 a — 1 — cos* A — cos’B — cos 1 C — 2 cosA cosB cosC sin a B sin * C : ’

— 4 cos S cos ( S — A ) cos ( S — B) cos (S — C) sin * B sin * C y

2S désignant la somme des trois angles. 70. Si au lieu des formules

tangi (« + *) = ungic^^Jj, tangi [a-b)= tanglC^~P|,

qui, comme nous l’avons déjà dit, servent à trouver à la fois deux cotés d’un triangle sphérique, au moyen du troisième côté et des deux angles qui lui sont adjacents, on voulait obtenir directement l’un des côtés a, b, le côté a, par exemple, il faudrait avoir recours à l’équation

cot A sin B

COt a = — sin7 - •" cotc COS B,

que 1 on trouve sur-le-champ en changeant dans l’équation analogue . cot a sin b

cot A — ginC — cot C cos b (art. 60 , les lettres majuscules en minuscules, et vice versâ, et affectant les cosinus et les cotangentes du signe négatif, comme nous l’avons déjà fait observer (art. 67).

On a pareillement, par une simple permutation de lettres,

cot B sin A ,

cote = - p cote cos

sine

À cot B sin C

COt O — ~ - - p cot a COS