LIVRE DEUXIÈME

ce qui donne une relation entre deux angles et deux côtés. Pour en avoir une entre les trois côtés et deux angles , différente de celle de l’art. 65, divisez l’une par l’autre les équations

cos a — cos b cqs c -h sin b sin c cos A ,

sin a sin c

sin A sin C-?

il viendra de suite

sin A cot a = sin C [ sin b cos A -+- cos b cot c ] :

la relation semblable entre les trois angles et deux côtés sera visiblement

sin a cot A = sine [sin B cos a — cos B cotC].

71. Toutes les formules que nous venons de démontrer suffisent pour les besoins ordinaires de l’Astronomie, et surtout de la Géodésie ; cependant nous allons en donner encore d’autres qui pourront trouver leurs applications, ou du moins qui concourront, avec les précédentes, à faire connaître la fécondité de l’Analyse trigonométrique. Si de la formule

sin [a — c) = sin a cosc — cos a sine,

on élimine sin a et sine, dont les valeurs respectives sont s*n.^ ^ et

1 sin n

sin b sin C

— r-=- - , on aura sin B 7

, sin b cosc sin A — sin b cos a sinC

sin (a — c) = - = - - ;

' ' sm B

mais à cause de la relation cosc sin A = cosC sin B cos a sin G cosB, donnée à l’art. 67, il est évident que l’expression précédente se changera en celle-ci :

sin (a — c) — sin b cosC — cosa sin& sinC ( ' - j ;

de là

sin (a — c) = sin 6 cosC — cos« sin 6 sinC tang {B,

formule donnée par Delambre et démontrée dans son Astronomie à l’aide d’une construction que nous avons voulu éviter ici, afin de rendre notre procédé purement analytique. Cette formule est une généralisation de celle de l’art. 62.

Déterminons aussi a — c par son cosinus et par sa tangente. D’abord la relation

cos b = cos a cos c sin a sin c cos B ,

en y mettant pour cos B sa valeur i — 2 sin2^B, devient

cos b = cos {a — c) — 2 sin a sin c sin2 ^B;

, sin b sin C sin b sin C „

puis, a cause de smc = — on a 1 expression

cherchée

cos (a — c) == cos b -f- sin<ï sin b sinCtang^B, par conséquent

, x tang b cosC — co s a tang b sinC tang1 B

tang (a — c) = — — - - . :

° ' 1 -h sin a tango sinC tang|B ’

formules nouvelles et qui rentrent évidemment dans celle de l’art. 62, lorsque le triangle sphérique est rectangle.

72. Les relations (<J) de l’art. 61 procurent de suite une expression très-simple de sin [a — c); en effet l’on a, en y changeant B en C et b en c, et vice versâ ,

sin i ( A. + C) = cos| B C°8^~— ] ,

sin|(A-C) = cos!B“U£=^;