LIVRE DEUXIÈME

multipliant celles-ci l’une et l’autre et simplifiant, on a

. / , sinè sin-j (A -f- C) sin-j(A — C) . , cosC — cosA

sin [a — c) = -a - — - - — — - - = sin b — — — Tirs"*

' ' COS*|B 2 cos j b

On trouverait aussi par une route toute semblable

sin (a -

sin6cosy(A-t-C)cosŸ(A — C) ^ cosC 4-cosA

sin *7 B

expressions données par Delambre [Astronomie y t. I, p. 162), et qui, étant multipliées entre elles, procureraient une autre relation remarquable , mais que nous trouverons plus tard par une autre voie.

Si l’on rapproche les deux valeurs de sin ( a — 6’), 011 aura visiblement

sm t (A -h C) sin y (A — C) cog q — cos a sjn ^ x g cos2 1 B 02

ou bien

1 sin \ ( A -4- C) sin A (A — C) = 2 cos2 A B cos C — cos a sin B sin C ,

relation nouvelle entre les trois angles et un côté d’un triangle sphérique; mais on peut y arriver par une route beaucoup plus directe. En effet , les deux équations

cos A = cos a sin B sin C — cos B cos C , cos C = cos C ,

étant soustraites l’une de l’autre, puis ajoutées ensemble, donnent, apres quelques transformations faciles,

2 sin A (A -H C)sin A (A — C) = 2 cos2 -J- B cosC — cos a sin B sin C,

2 cos A (A + G) cos A (A — C) = 2 sin2 A B cos C cos a sin B sin C ;

il suit de là que

tang A (A 4- G) tang A (A - C) =

2 cos2 1 B cos C — cos a sin B sin C 2 sin2 ^-B cos C cos a sin B sin C

Nous ne nous arrêterons pas à faire voir que le triangle supplémentaire

donnerait sur-le-champ des relations semblables entre les trois côtés et un angle.

“3. On arrive très-simplement à diverses relations entre les six parties d’un triangle, ainsi qu’il suit.

En vertu des art. 64 et 67 on a

cos A sin c = cosrt sin b — cos G sin a cos b, cos a sin C = cos A sin B -|- cos c sin A cos B ;

divisant ces deux équations en croix, il vient

cos ^Ls*n B ~+~ cos c sin A cos B cos A sine

cos a sin C

cos a sin b — cos C sin a cos b

et simplifiant , on a

sin B -t- cosc tang A cosB sinC

sin c sin b — cosC tang a cos b ’

divisant au contraire membre par membre les memes équations, et

remarquant que = ”n a , on trouve

1 1 sinC sm A

c°t A cos a sin b — cosC sin a cos b

cot a cos A sin B -h co \c sin a cosB '

Si dans la première équation l’on changeait A en B , a en b, et réciproquement, et qu’on procédât comme il vient d’être dit en premier lieu on tomberait sur la relation

cosA tang B-hsm A cos c sin C

siQC cos étang a — sinécosC*

donnée parDelambre.

Enfin si 1 on multiplie par cosB les deux membres de l’équation cosB sin C = cosb sin A — sin B cosC cosa ,