LIVRE DEUXIÈME

On aura le côté a , par exemple, à l’aide de la formule

. / — cosÿ (A + B -(- C) cos|(B -4- C — A)#

sm T * = V - sînFsïnC

on pourrait aussi obtenir \ a par son cosinus ou par sa tangente (art. 68).

76. 3e Cas. Étant donnés deux côtés a, b, et l angle compris C, trouver les autres parties du triangle.

On aura le troisième côté c par la formule

cosc = cos a cos b 4- sin a sin b cosC;

mais son emploi immédiat exige que l’on fasse usage de la table des sinus et de celle des nombres. On remédie à cet inconvénient en décomposant en deux facteurs le second membre de la formule; mais cette opération ne peut se faire qu’à l’aide d’un arc auxiliaire. Soit donc <p cet arc, et de plus M un coefficient indéterminé, en sorte qu’on ait

cos c = M cos (a — <p ) ; développant cette expression , il vient

cos c = M cos a cos <p 4- M sin a sin cp ,

d’ailleurs

cos c = cos a cos b 4- sin a sin b cos C ;

et comme ces deux valeurs doivent être identiques, on a , en les égalant terme à terme,

d’où

M cos <p = cos b , M sin <p = sin b cosÇ,

et par suite,

tangy = tangftcosC, M=^, cos b .

cos c — - cos ( a — j.

cos <p

Autrement l’on a

cosc = cos b [cos a -+- tan gb cosC sin a], et si 1 on fait tangÆ cosC = tang?, on aura , comme ci-dessus,

cosc = cos b [costf. + tang<p sin<z] cos b r

— [cos a cos? -+- sm? sin«] cos b

= ï5^cos (*-?)-

L’arc auxiliaire ? représente donc le coté de l’angle droit d’un triangle sphenque rectangle, dont b est l’hypoténuse et G l’angle oblique adjacent^. SB); end autres termes, c’est le segment adjacent à l’angleC, loi me par la perpendiculaire abaissée du sommet de l’angle A sur la base a opposée. Lorsque tangy sera négative, auquel cas le segment sera extérieur au triangle, on prendras négativement, et par conséquent l’on aura cosc = cos (* + ?) ; du reste il faudra avoir égard aux signes des cosinus.

Quant au segment® de l’angle A, opposé au segment ? de la base « •lest donné par la relation cot 0 = cos* tangC, démontrée à l’art. 61.’

/7‘ SV; ,dan! rexr,ressio» de cos c, on met pour cosC sa valeur i — asm 2 C, il viendra d’abord

cosc = cos (ci — b) — 2sin<zsin£ sin2|C;

puis si 1 on change de meme les autres cosinus, on trouvera, réduction faite ,

sina|c = sin a|(«— b) -+- sin a sin& sin2|C

Soit

•= sin 2Ua-b) [i + liDflsin*!^Üc | 2V JL sin *i(a-b) J*

tang5 = y sin a sin£,

on aura évidemment