LIVRE DEUXIEME

sin|c= sin!(a-ô)(i -Etang2 0)* =aP^9 -,

solution analogue à celle de l’art. 47 : elle est surtout utile lorsque le côté c ne peut être déterminé rigoureusement par son cosinus , à cause de l’exactitude limitée des Tables de logarithmes. En effet, quand c est très petit, son cosinus diffère si peu de l’unité que le logarithme correspondant, qui ne renferme que 7 chiffres décimaux, appartient indifféremment à un arc plus grand ou plus petit. On ne tomberait pas dans cet inconvénient, si \c était peu différent du quadrant, et qu’il fut donné par son cosinus.

Pour l’obtenir de cette maniéré, on remarquera qu’à cause de cosc = 2COS — 1, et de cos (a — b) == 2COs2!(æ — b\ — 1 . on a

cos2!c = cosa ±(a = COS2! (À

or, ici l’on peut égaler au carré d’un sinus la quantité qui suit l’unité dans le second membre, parce que le problème n’est possible qu’autant que le facteur binôme est positif.

Soit donc

. - sin-j-C - r— r

smtf = — 77 - n vsmrtsmo,

cos y (a — b) ' 1

on aura

cos^c = cos! ( a — b) cos $ :

la seconde racine négative est inadmissible , puisque j^c < 1 . Lorsque a — b est très-petit , il vaut mieux, pour l’exactitude de la solution numérique , changer cosC en 2COS2!C — 1 , et l’on voit bien pourquoi , d’après une transformation analogue opérée à la fin de l’art. 47.

78. Quant aux angles inconnus A, B, ils se déduiront tous deux

— b) — sin a sin b sin2 \ C

sinasin &sin*-j-C

COS*{(rt — vJ

des analogies de Néper, qui donnent

(ang^(A + B) = cotiC^i|î^-j, tang^A — B) = cotiC,^||^.

gl /. 1 . v * ' * *

car ensuite on a ••

A=i(A + B) + i(A-B), et B =i(A + B) - i(A - B). On aurait aussi directement

CQt cota sin b — cos C cos b

sin G ’

co^. g cotisina — cosCcosa

sinC ^ 1

et pour réduire, si l’on veut, à un seul terme chacun des seconds membres, le premier, par exemple; soit comme ci-dessus cp un angle auxiliaire, et M un coefficient indéterminé, puis supposons que

cot A = M sin ( b — <p) , on aura, en développant,

cot A = M sinè cos^ — M cosb sin<p; ensuite, en comparant cette valeur à la précédente, il viendra

Mcos<p = ^^, Msin<p = cotC,

d’où

tang<p = tanga cos C, et cot A = sin (b •— <p)j

ce qui revient a diviser le triangle proposé en deux triangles rectangles.

79. Les angles subsidiaires ont donc pour objet de transformer les expressions binômes en un seul terme, afin de les rendre plus faciles