LIVRE DEUXIÈME

à évaluer par les logarithmes. On s’en convaincra (1e nouveau en résolvant le problème suivant :

Étant donnés , comme ci-dessus, a, b, G, déterminer directement l’arc de grand cercle perpendiculaire au cote inconnu c , et compris entre ce côté et le sommet de l’angle G opposé.

Soit p cet arc ou la hauteur du triangle, on aura évidemment

. . sin «sin 6 sin C

sin p = sin b sin A = \ —

d’ailleurs, parce qui'précède,

sine = s/i — cos2c = V(i -hcose)(i — cosc)

= cos {a — b) — 2sin a sin b sin2 -5 G ]

[i — cos (a — b) + asinrt sin b sin2 ^C]

= 2v/[cos2|(a — b) — sinasmb sin2|C]

[sin2 -j (a — b\ H- sin a sin b sin2 ^ C] .

Substituant donc cette valeur dans l’expression précédente , on trouvera , après quelques transformations aisées ,

Soient maintenant

sin a sin b sinC

y^cos# sin £ — sïna cos b cosC)* -+- sin*rt sin*C

cotÿC •

= /r cos» I {a — b) TT «n»K^6) + , V | sina sin b sin» jC » J Lsiim *■ b sin^C

œs2 t (a — b) __ s^ca u et !î!L = tang2 U ' ;

sin «sin 6 sin2 fC sin « sin è sin ,C

alors l’expression précédente se changera en celle-ci :

sin p = cotw cos u' cot^C.

La solution qui se présente naturellement est de chercher d a-

bord le côté c par son cosinus, et de résoudre ensuite l'équation sin a sin b sin C n

sm p — - 7 - .

r sine

Voyons cependant si, en calculant directement la perpendiculaire p

bneveté ”Sente’ '' "X ai"’ait P3S qUelq"e Ch°S@ " m"*'' du CÔIé de la

On a

tang2ü = s^nI/> sin2 g sin* 6 sin1 C

i — sin1/? sin2c — sin1 g sin1 b sin*C’

substituant pour sin2 c sa valeur I - (cos« cosA + sin« sin AcosC)2 , pins développant et réduisant, on trouvera

tang2^> = sin1 a sin1 b sin1 C

i cos g cos1 b sm2 g sin1 A — 2sin a cos g sin b cm b cos C '

mettant dans le dénominateur, sin’a + cos2 a a la place de l’unité, et réduisant encore, on obtiendra facilement

tang2 p = — sin* « sin1 b sin1 C

sm1 g cos1 b -f- cos* a sm 2 A — 2sin g cos g sin Acos b cos C

enfin, faisant

sin* g sin2 b sin* C

sin*(a — b) -+- 4 sin a cosa sin b cos b sin^C*

sin ia sin ?.6sin2£C

sin2 (g — b) *3në»

tang^ =

cos 6f sin g sin b sin C

solution plus courte que la prefciiere.

la**' "2Ît de’.tr°UVerd’autres eïPr“ons de l’arc perpendicu-

.le de’ux côtretndeSraStTnt ^ ‘ ™dre “"“J” fonctions de 1 angle compris. Par exemple, si l’on éleve au

carre léguât, on sinp = s,ni sin A, et qu’on fasse attention que sine? sin A — sma sinB, on aura évidemment

sin2 p = sin a sin A sin A sin B , delà cos2p = , — sin n sin A sin A sin B.