LIVRE DEUXIÈME

D’ailleurs, à cause de cosC = sin A sinB cosc — cos A cos B , on a

expression due à Delambre , et qui renferme trois côtés et deux angles. On peut aussi rendre sin p fonction des trois côtés seulement , en mettant dans l’équation sin p = sin b sin A, pour sin A sa valeur donnée à l’art. 55.

Mais aucune de nos solutions n’indique si la perpendiculaire p est plus petite ou plus grande qu’un quadrant. Pour lever le doute , il faudrait connaître les angles A et B; car s’ils sont de même espèce, la perpendiculaire tombera dans le triangle , et sera aussi de l’espèce de ces angles (art. 63).

81. Nous avons vu plus haut que la 3* équation (a), art. 54, prend cette forme

sin2|c = sin2^(a — b) -4- sin a sin b sin2 |C; son analogue (e), art. 67, devient, par le même procédé, sin* \ C = cos2 {(A + B)+ sin A sin B sin2 { c ; or, si l’on élimine sin2 \ C entre ces deux résultats, on obtiendra

sin* y (a — b) -+- sin a sin b cos* y (A H- B) 1 — sin a sin b sin A sin B

Par une marche parfaitement semblable on trouverait

cos2 \c = cos2 \ [a H- b) -+- sin a sin b cos2 ± C , cos2^C = sin2^(A — B) -h sin A sin Beos2

par suite

et enfin

COS2 -C — coslT(a-f-^) + sinasin^sin2lfA — B) i — sin a sin b sin A sin B

tang2 — C = sin2 \ {a — b) + sin a sin b cos2 f (A + B) ® 2 cos2 i(fl+ê) + sin a sin 6 sin2 1 (A — B)'

C’est une des relations curieuses trouvées par Delambre [Astronomie , tome I, page 201). Il en existe une toute pareille entre les trois angles et deux côtés, et cela est une suite naturelle de la propriété du triangle polaire. Mais en veut-on une différente composée de ces mêmes quantités? Il n y a qu’à multiplier Tune par l’autre les deux équations suivantes :

COt A = cos a S4n ^ — sina cosZ>cosC sin « sin C

coj.g cos b sin a — sin b cos a cos C sin b sin C

sin (a £)sin2-jC — sin (a — b) cos^C sin a sin C

sin {a -j- b) sin* ÿ C -h sin {a — b) cos2 \ C sin b sin C

obtenues à l’art. 65, et Ton aura

cot A cot B =

sin2 (a -H b) sin4 i- C — sin2 ( a — b) cos4 7 C sin a sin b sin2 C

ou autrement , à cause de sin2 C = 4 sina \ C cos2 \ C , il viendra 4 sin a sin b cot A cotB = sin2 ( a 4- b) tang2 {C - sin2 ( a — b) cot2 \ C ;

relation qui nous paraît nouvelle et assez remarquable.

Si, au contraire, on ajoute les valeurs de sin a cot A et sin b cot B, on aura de suite

sin b cot B -+- sin a cot A — sin ( a -+- b) tang \ C, pareillement

sin b cot B — sin a cot A = sin ( a — b) cot T C ; enfin multipliant, ensuite divisant ces deux résultats l’un par l’autre , il

viendra