LIVRE DEUXIÈME

ici iQ — <p est l’angle au sommet C du triangle formé par le côté b et la perpendiculaire abaissée sur la base c (art. 61).

Lorsqu’on substitue pour cos b sa valeur déduite de la seconde relation (s) , on a

cos B -I- cos A cos G tang<P = - cosAsinC"" 5

on a en outre

sinC

tang <p cota tang A— cosC'

sin a sin C

Le troisième côté c sera donné par 1 équation sinc= - sin A~ ; ou bien, en n’employant que les données primitives , par la formule

cos b cos c -h cos A sin b sin c = cos a, qu’on transformera en celle-ci

COS (C — <p) =

COS û COS Y

cos b ’

à l’aide d’un arc subsidiaire <p donné pari équation tang (p = cosA tang A Cet arc, qui est le segment adjacent à l’angle A , et qui se trouve formé parla perpendiculaire abaissée de l’angle C sur le coté opposé, peut s’exprimer analytiquement de plusieurs manières différentes, selon les données du problème; par exemple, si les trois côtés sont connus, on aura

. cos a — cos b cos c

tang <p = tang b cos A = cosfcsin-c ■

Si deux côtés et l’angle compris sont donnés, on aura

sin b cos A cos a sine — sin a cos c cos B #

tailg <P = ~ cos£ cos a cosc -h sina sine cos B ’

c’est ce qu’il est aisé de voir. U n’est pas plus difficile de reconnaître que

tang<p =

sin c cos A

cot B sin A cos c cos A

sine

tang AcotB -+- côse

ci»t A sin B coséc a cos b

Le même segment pourrait aussi s’exprimer en fonction des trois angles.

85. 6e Cas. Étant donnés deux angles A et B avec le côté a opposé au premier y trouver les deux autres côtés b, c et le troisième angle C.

La solution de ce problème se déduit de la précédente par la propriété

du triangle polaire; ainsi l’on aura le côté b par l’ équation sinû=— ngsinB

sinA ’

et le côté c par la formule

cot a sin c — cosB cos c = cot A sin B, de laquelle on tirera

sin (c — æ) = tepg Çjj?JP

v r ' tang A 9

en y introduisant un angle auxiliaire <p donné par l’équation tang <p = cos B tang a.

Enfin l’on trouvera l’angle C au moyen de l’équation cosa sin B sin C — cos B cosC = cos A ;

mais, pour abréger le calcul, on fera tang <p = — et l’on aura sinfC — =

Ce problème est , comme le précédent , susceptible de deux solutions (art. 60). Voyez la Trigonométrie de Legendre, pour savoir distinguer dans ces deux cas si parmi des valeurs particulières des quantités données , il existe deux triangles qui satisfont à la question , ou seulement un seul. Ici nous supposons les cas les plus généraux.

86. Si l’on connaissait deux angles A, B, ainsi que les deux côtés opposés æ, b , et qu’on voulût déterminer immédiatement le troisième