LIVRE DEUXIÈME. io

divisant ces deux équations l’une par l’autre, on a

sinAC sinCR

sinAc sineR7

ainsi , quand un arc tel que AR divise également un angle d’un triangle sphérique, les sinus des segments du côté opposé sont entre eux comme les sinus des côtés adjacents.

Le triangle ACB, dans lequel Ce partage en deux parties égales l'angle C, donne par conséquent

sinAC sinCB #

sin A c sin cB ’

de ces deux rapports égaux il suit que

sinCR sin CB #

sin cR sincB7

donc l’arc BR divise également l’angle B. Donc, etc.

Maintenant il résulte de 1 art. 70 et de l’hypothèse ci-dessus , que les deux triangles BAR, CBR donnent respectivement

,DT) cot-jAsin^-B . „

cotBR = - ^ - - — p cote cos4B,

sin c 2 ’

. T)T) cot-f C sin- B , .

cotBR = — . — H cota cos-i-B;

sin « 2 ’

on a donc la relation cherchée en égalant ces deux valeurs, et en réduisant, savoir:

sin (a — c) = (cot| C sine — cot| A sin a) tang^ B;

c est à quoi l’on parviendrait encore par quelques artiBces de calcul appliqués à la valeur de sin (a — e), donnée à l’art. 72.

Si 1 on fait attention qu’à cause de sm - = l’on a 1 sin A sin C 7

sin a cot A =

sine cos A sinC 7

sine cotC =

sin a cos C sin A

io6

et par soustraction

sine cotC — sinacotA = (cosC — cos A):

sinA v n

alors en mettant pour cosC et cos A leurs valeurs acos2 C — i et 2cosa I A — i , il viendra

sine cotC — sina cotA = (cos2|C — cos2|A) sinA v 2 2 /

sine, cos1 ÿC sin a. cos1 1 A

sin-ÿCcosÿC sin-jAcos-A = sinccot^C — sinacot^A.

Par conséquent l’on a aussi

sin [a — e) = (cotCsine — cotA sin a) tang^B.

88. Si du point R de concours des arcs qui divisent également chacun des angles A , B , C , on abaisse des perpendiculaires sur les côtés opposés, ces perpendiculaires seront nécessairement égales comme dans le triangle rectiligne , et elles partageront aussi les trois côtés en six segments égaux entre eux deux à deux. Par exemple, les segments adjacents à l’angle A auront chacun pour valeur le demi-périmètre s du triangle, moins le côté opposé à cet angle. Ainsi, par la propriété du triangle sphérique rectangle, l’une des perpendiculaires dont il s’agit étant désignée par p , on aura (art. GO) ,

tangp = tang| A sin (s — à)

= tang^B sin ( s — b)

= tang^ C sin {s — c) ;

de là cette nouvelle relation , signalée par M. Molweide , savoir :

tang-jA sin (.y — b)

tangÿB sin (.y — a)

(Voyez la Connaissance des Teins pour l’année 1820 , page 346.)

Il est évident que la distance a du point R à l’angle A sera donnée par

la formule