LIVRE DEUXIÈME

tanga =

tang (s — a) COS7 A

Quand on est parvenu à des formules nouvelles, il est utile de les vérifier par des exemples numériques : on pourra , pour cet effet , employer le triangle d’épreuve, dont Delambre a calculé toutes les parties (Astron. , tome I, page 227), 011 celui que nous avons donné (art. 158).

Il est remarquable que si les arcs A a , , Ce étaient chacun perpendiculaires aux côtés a, b, c, ils se couperaient pareillement en un même point R. Cette.autre propriété n’est pas plus difficile à démontrer que la précédente, et elle résulte de ce que les cosinus des deux segments de la base , formés par la perpendiculaire , sont proportionnels aux cosinus des côtés adjacents.

81). Occupons-nous maintenant de la recherche de l’aire d’un triangle sphérique , en fonction de trois des six parties dont il est composé. Or, on sait que l’aire d’un tel triangle a pour mesure l’excès de ses trois angles sur deux angles droits, c’est-à-dire qu’elle est égale à autant de triangles trirectangles , ou de huitièmes de la surface de la sphère, qu’il existe d’angles droits dans l’excès dont il s’agit {Géométrie de Legendre, liv. VII, prop. a3). Soit, d’après cela, 2 l’aire cherchée , 1* le quadrant pris pour unité de mesure des angles, et A, B, C les • trois angles d’un triangle sphérique ; on aura

Mais p désignant le rayon de la sphère à laquelle le triangle appartient, et 7T la demi-circonférence d’un cercle dont le rayon est pris pour unité, on a pour l’expression de l’aire de cette sphère, et pour celle T

du triangle proposé, évaluée en mesures carrées,

T = i trp22 , (2)

formule dans laquelle le facteur 2 doit être un nombre abstrait. Fai exemple, si 2 était donné en degrés, il faudrait remplacer ce facteur

Par parce qu’alors U = 90°.

On peut avoir 2 sous différentes formes. D’abord il est évident que

développant le second membre, il vient

et substituant pour sin ) et cos leurs valeurs en

fonction de a, b , c , C (art. 64) , on trouve

= -"cosTc5’0 *)— cos±(«M-é)]

2siDŸasinj^sinÿCcos|C sinŸasin|£ sinC

COS-jC cos-j-c 1

enfin remplaçant sin -A Cetcos^C par leurs valeurs (^) données à l’art. 64, et faisant is = a -4- b -H c , pour abréger, on a

. Z V/sinjsin (f — a) sin (s — b) sin (s — c)

2 2cos|acos| b cos je

Cherchons en outre l’expression de cos ^ : on a d’abord

cos- = cos

= sin - cos - -

■co<A±5)8i„?.

Substituant comme ci-dessus pour sin ( A~B j et cos ^ A~t- J leurs valeurs, il vient

cos - — cosT(a à) cos’yC -+■ cos|(a b) sin» j-Ç