COS

2 cosÿ c

Cette formule, ou celle (3) , fera connaître l’aire d’un triangle sphérique, au moyen de trois côtés et d’un angle. Pour en avoir une qui ne dépende que de deux côtés et de l’angle compris , on divisera l’une par l’autre (3) et (5); en effet, on aura sur-le-champ

„ sin y a sin y b sin C

tang ~I= - ; - - r1, -r—r-,

cos 7 a cos y 0 -hsiny «smÿ b

tangyatangÿÆ sinC

expression encore toute rationnelle.

La valeur précédente de cos ^ peut se mettre sous une autre forme , ainsi qu’il suit.

De ce que

cos -^2

cos -£■ ( a — b) cos \ c

asin y a sin y b sin1,! G COS •j c

il en résulte, en éliminant sin2 \ C, que

COS - 2 = cos v b) sin (s— a) sin (s — b) #

2 cos y c îcosÿa cosÿ b cosÿ c 7

mais

sin ( s — a) sin ( s — b) = ~ [cos ( b — à) — cos c] ;

ainsi

! v 2COSÿflCOSy ^ C0ST ( a — T cos (ci — b) -h y COSC

2 COS y a COS y b COS y C

et comme cos {a — b) = acos2 \ (a — b) — i , le numérateur du second membre de cette équation devient

[cos-£(a — £) + cos|(a-+- ô)]cos|(« — b) — cosa|(a — ô)-t-|cosc -t- j, et se réduit à

cos|(a-+- b)cos\(a — b) | cos c -+- \ =

cos a -f-cos£ -h COSC-+- I

1 1 o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

On a donc cette formule remarquable ,

cos a -hcosi 4- cos c-f- i \

COS ~ 1 = — 7 - ; - - ï - J

2 4cosTacoS2 ® cosT c \ ( \

cos» jg + cos2 y b q- cos1 \c — t . l w)

2 cos ~ a cos| b COS-y c ’ }

et en la divisant par celle désignée précédemment par (3), il vient . i -+- cosa -h cos b cosc

Cherchons maintenant, à l’exemple de Legendre ( Géométrie , note X), l’expression du rapport 1 Premièrement, parce qui précède,

i cos ^ 2 an T 1 v 1 — 0051 — a — cos* ^ — COS* -H2CQSTac08i^C0STc .

sin-ÿî l/sinjsin(i — à) sin (s — 6)sin(.v — c)

en second lieu , le numérateur de cette expression étant le développement de la quantité

(1 — cosa±a)(i — cos?\b) — (cos±acos\b — cos|c)*, il s’ensuit qu’il peut être remplacé par le produit

| (sin^asin^b -1- cos£ a cos|£ — cos| c) 1

!(sinTtfsin-| q- cos^«cos-| (sin \a sin \b — cos \ a cos £

b q- cos| c ) j 7

ou par cet autre ,

[cos|(a — b) — cos-^c] [cos|c — cos-|-(tf q- 6)]

= 4sin|^ sin^i^^ sin^-^} sin (i~)-

Mais en général ,

“U = J = Vîtoagï^;

C\TZ V 2Sin-i-^cos4-jr *2 552